Se rho(r)=3 Q /(4 pi R^3) para r e rho(r)=0 para r>R, como fica a função magnitude do campo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos falando sobre uma distribuição de densidade que muda dependendo se a distância é menor ou maior que um raio . O conteúdo envolvido aqui é o Campo Elétrico (ou Gravitacional) gerado por uma distribuição esférica de carga (ou massa). Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos simétricos de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade :
  • Para :
  • Para :
Isso significa que dentro do raio , a densidade é constante, e fora, não há densidade. Isso lembra muito uma esfera de carga uniforme.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Para campos com simetria esférica, a Lei de Gauss simplifica para:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0
Então, o campo elétrico E(r) = Qenc4pi varepsilon0 r^2 é:

Passo 4

Vamos calcular Qenc = rho cdot 43pi r^3 = 3Q4pi R^3 cdot 43pi r^3 = Q cdot (rR)^3 , ou a carga dentro de uma esfera de raio . Dependendo se ou , temos:
  • Para :
    A carga dentro é proporcional ao volume. Como ,
  • Para :
    Toda a carga está dentro, então .

Passo 5

Agora, substituímos E(r) = Q (rR)^34pi varepsilon0 r^2 = Q r4pi varepsilon0 R^3 na expressão do campo elétrico:
  • Para E(r) = Q4pi varepsilon0 r^2 :
  • Para :

Resposta

A função magnitude do campo elétrico é dada por:
E(r) = Q r4pi varepsilon0 R^3 & para r < R Q4pi varepsilon0 r^2 & para r > R

Exercícios relacionados