3 Um carga Q está distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo de comprimento 2 a, de forma que a densidade de carga é lambda=Q / 2 a. Usando a fórmula
V(r)=integral d q4 pi epsilono 1|r-r^prime|
calcule o potencial ao longo da reta perpendicular passando no centro do fio e a uma distância x desse centro. Considere o caso onde a infty, enquanto mantém-se lambda constante. Tente usar o resultado anterior para determinar V(r) neste caso. O que acontece? Como você explica esse resultado?
Dica:
integralx1^x2 d x(x^2+a^2)^1 / 2=ln [(x^2+a^2)^1 / 2+x]x1^x2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma carga V(r) = integral dq4 pi epsilon0 1|r - r,'| distribuída uniformemente em um fio reto de comprimento . A densidade linear de carga é dada por . Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico em um ponto que está na reta perpendicular passando pelo centro do fio e a uma distância desse centro. Além disso, precisamos considerar o caso onde tende para o infinito ( ) mantendo constante. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do potencial elétrico:
Vamos precisar entender de conceitos como densidade linear de carga, integração ao longo do fio e como aplicar limites em integrais. Vamos passo a passo resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a densidade linear de carga . Ela representa a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio. No nosso caso, , ou seja, a carga total está distribuída uniformemente ao longo de um fio de comprimento .

Passo 3

Agora, vamos identificar o ponto onde queremos calcular o potencial . Esse ponto está na reta perpendicular passando pelo centro do fio e a uma distância desse centro. Imaginando o fio no eixo de um sistema de coordenadas, o ponto onde queremos calcular o potencial está no eixo a uma distância do centro.

Passo 4

Para calcular o potencial V(r) = integral dq4 pi epsilon0 1|r - r,'| , usamos a fórmula:
Aqui, é um elemento de carga no fio, é a permissividade do vácuo, e é a distância entre o ponto onde estamos calculando o potencial e o elemento de carga .

Passo 5

Vamos parametrizar o fio. Suponha que o fio está estendido ao longo do eixo |r - r,'| = raizx^2 + z'^2 , de a . Então, a posição de um elemento de carga no fio pode ser representada por . A distância entre o ponto onde calculamos o potencial (no eixo , a distância ) e o elemento é dada por:

Passo 6

Como a densidade linear de carga é dq = lambda , dz' , podemos expressar V(x) = integral-a^a lambda , dz'4 pi epsilon0 1raizx^2 + z'^2 como:
Substituindo na expressão do potencial:

Passo 7

A integral que precisamos resolver é:
V(x) = lambda4 pi epsilon0 integral-a^a dz'raizx^2 + z'^2
Para resolver essa integral, usamos a dica fornecida:
integral dxraizx^2 + a^2 = ln( raizx^2 + a^2 + x ) + C

Passo 8

Aplicando a dica à nossa integral, temos:
integral-a^a dz'raizx^2 + z'^2 = ln( raizx^2 + a^2 + a ) - ln( raizx^2 + a^2 - a )
Simplificando, isso fica:
ln( raizx^2 + a^2 + araizx^2 + a^2 - a )

Passo 9

Agora, substituímos de volta na expressão do potencial:
V(x) = lambda4 pi epsilon0 ln( raizx^2 + a^2 + araizx^2 + a^2 - a )

Passo 10

Agora, vamos considerar o caso onde raizx^2 + a^2 approx a e V(x) approx lambda4 pi epsilon0 ln( a + aa - a ) = lambda4 pi epsilon0 ln( 2a0 ) permanece constante. Quando tende ao infinito, o termo pode ser aproximado por , já que é muito maior que . Portanto:
Substituindo na expressão do potencial:

Passo 11

Observamos que V(x) infty tende ao infinito, já que estamos dividindo por zero. Portanto:

Resposta

No caso onde mantendo constante, o potencial elétrico tende ao infinito. Isso ocorre porque, com um fio infinitamente longo, a concentração de carga também se torna infinita a cada ponto, fazendo com que o potencial elétrico nesse ponto perpendicular ao fio cresça sem limite.

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