carga está distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo de comprimento , de forma que a densidade de carga é . Usando a fórmula
calcule o potencial ao longo da reta perpendicular passando no centro do fio e a uma distância x desse centro. Considere o caso onde a infty, enquanto mantém-se lambda constante. Tente usar o resultado anterior para determinar V(r) neste caso. O que acontece? Como você explica esse resultado?
Dica:
integralx1^x2 d x(x^2+a^2)^1 / 2=ln [(x^2+a^2)^1 / 2+x]x1^x2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma carga V(r) = integral dq4 pi epsilon0 1|r - r,'| distribuída uniformemente em um fio reto de comprimento . A densidade linear de carga é dada por . Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico em um ponto que está na reta perpendicular passando pelo centro do fio e a uma distância desse centro. Além disso, precisamos considerar o caso onde tende para o infinito () mantendo constante. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do potencial elétrico:
Vamos precisar entender de conceitos como densidade linear de carga, integração ao longo do fio e como aplicar limites em integrais. Vamos passo a passo resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a densidade linear de carga . Ela representa a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio. No nosso caso, , ou seja, a carga total está distribuída uniformemente ao longo de um fio de comprimento .
Passo 3
Agora, vamos identificar o ponto onde queremos calcular o potencial . Esse ponto está na reta perpendicular passando pelo centro do fio e a uma distância desse centro. Imaginando o fio no eixo de um sistema de coordenadas, o ponto onde queremos calcular o potencial está no eixo a uma distância do centro.
Passo 4
Para calcular o potencial V(r) = integral dq4 pi epsilon0 1|r - r,'| , usamos a fórmula:
Aqui, é um elemento de carga no fio, é a permissividade do vácuo, e é a distância entre o ponto onde estamos calculando o potencial e o elemento de carga .
Passo 5
Vamos parametrizar o fio. Suponha que o fio está estendido ao longo do eixo |r - r,'| = raizx^2 + z'^2 , de a . Então, a posição de um elemento de carga no fio pode ser representada por . A distância entre o ponto onde calculamos o potencial (no eixo , a distância ) e o elemento é dada por:
Passo 6
Como a densidade linear de carga é dq = lambda , dz' , podemos expressar V(x) = integral-a^a lambda , dz'4 pi epsilon0 1raizx^2 + z'^2 como:
Substituindo na expressão do potencial:
Passo 7
A integral que precisamos resolver é:
V(x) = lambda4 pi epsilon0 integral-a^a dz'raizx^2 + z'^2
Para resolver essa integral, usamos a dica fornecida:
integral dxraizx^2 + a^2 = ln( raizx^2 + a^2 + x ) + C
Passo 8
Aplicando a dica à nossa integral, temos:
integral-a^a dz'raizx^2 + z'^2 = ln( raizx^2 + a^2 + a ) - ln( raizx^2 + a^2 - a )
Simplificando, isso fica:
ln( raizx^2 + a^2 + araizx^2 + a^2 - a )
Passo 9
Agora, substituímos de volta na expressão do potencial:
V(x) = lambda4 pi epsilon0 ln( raizx^2 + a^2 + araizx^2 + a^2 - a )
Passo 10
Agora, vamos considerar o caso onde raizx^2 + a^2 approx a e V(x) approx lambda4 pi epsilon0 ln( a + aa - a ) = lambda4 pi epsilon0 ln( 2a0 ) permanece constante. Quando tende ao infinito, o termo pode ser aproximado por , já que é muito maior que . Portanto:
Substituindo na expressão do potencial:
Passo 11
Observamos que V(x) infty tende ao infinito, já que estamos dividindo por zero. Portanto:
Resposta
No caso onde mantendo constante, o potencial elétrico tende ao infinito. Isso ocorre porque, com um fio infinitamente longo, a concentração de carga também se torna infinita a cada ponto, fazendo com que o potencial elétrico nesse ponto perpendicular ao fio cresça sem limite.