Um agrimensor vê um morro segundo um ângulo visual de 30º. Aproximando-se 40 m do morro, observa-se sob um ângulo de 60º. Determine a altura H do morro.
Passo 1
Vamos resumir o problema: um agrimensor está observando um morro e inicialmente vê-lo com um ângulo de 30º. Depois, ao se aproximar 40 metros do morro, o ângulo de visão aumenta para 60º. Queremos descobrir a altura $ H $ do morro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona ângulos aos lados oposto e adjacente de um triângulo retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a situação inicial onde o agrimensor vê o morro com um ângulo de 30º. Podemos imaginar um triângulo retângulo onde:
- A altura do morro $ H $ é o lado oposto ao ângulo de 30º.
- A distância inicial do agrimensor até a base do morro é $ D $ metros, que é o lado adjacente ao ângulo.
Usando a definição da tangente:
Então:
Passo 3
Depois de se aproximar 40 metros, a nova distância até o morro é $ D - 40 $ metros, e o ângulo de visão é de 60º. Novamente, usando a tangente:
Então:
Passo 4
Agora temos duas expressões para $ H $:
Sabendo que $ \tan(30º) = \frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ \tan(60º) = \sqrt{3} $, substituímos:
Podemos multiplicar ambos os lados por 3 para simplificar:
Dividindo ambos os lados por $ \sqrt{3} $:
Resolvendo para $ D $:
Passo 5
Agora que sabemos que a distância inicial $ D $ é 60 metros, podemos encontrar a altura $ H $ usando uma das equações anteriores. Vamos usar:
Resposta
A altura do morro é $ H = 20\sqrt{3} $ metros, aproximadamente 34,64 metros.