Um agrimensor vê um morro segundo um ângulo visual de 30º. Aproximando-se 40 m do morro, observa-se sob um ângulo de 60º. Determine a altura H do morro.

Passo 1

Vamos resumir o problema: um agrimensor está observando um morro e inicialmente vê-lo com um ângulo de 30º. Depois, ao se aproximar 40 metros do morro, o ângulo de visão aumenta para 60º. Queremos descobrir a altura $ H $ do morro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona ângulos aos lados oposto e adjacente de um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a situação inicial onde o agrimensor vê o morro com um ângulo de 30º. Podemos imaginar um triângulo retângulo onde:
  • A altura do morro $ H $ é o lado oposto ao ângulo de 30º.
  • A distância inicial do agrimensor até a base do morro é $ D $ metros, que é o lado adjacente ao ângulo.
Usando a definição da tangente:
H º
Então:
D º

Passo 3

Depois de se aproximar 40 metros, a nova distância até o morro é $ D - 40 $ metros, e o ângulo de visão é de 60º. Novamente, usando a tangente:
D - 40 º
Então:
tan(60º) = HD - 40 º

Passo 4

Agora temos duas expressões para $ H $:
H ºº
Sabendo que $ \tan(30º) = \frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ \tan(60º) = \sqrt{3} $, substituímos:
D cdot tan(30º) = (D - 40) cdot tan(60º)
Podemos multiplicar ambos os lados por 3 para simplificar:
tan(30º) = raiz33
Dividindo ambos os lados por $ \sqrt{3} $:
tan(60º) = raiz3
Resolvendo para $ D $:
D cdot raiz33 = (D - 40) cdot raiz3

Passo 5

Agora que sabemos que a distância inicial $ D $ é 60 metros, podemos encontrar a altura $ H $ usando uma das equações anteriores. Vamos usar:
D º

Resposta

A altura do morro é $ H = 20\sqrt{3} $ metros, aproximadamente 34,64 metros.

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