Água a 10^circ C e 4,54 m^3 / h escoa em um tubo trocador de calor com diâmetro interno 25 mm e 3 m de comprimento. Assumindo a temperatura superficial constante de 99^circ C, determine a temperatura de saída da água usando as analogias pertinentes. Considere desprezíveis os efeitos de entrada e as propriedades da água podem ser avaliadas à temperatura média do fluido.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Nós temos água entrando em um tubo trocador de calor com algumas características específicas: temperatura de entrada de 10°C, vazão de 4,54 m³/h, diâmetro interno de 25 mm e comprimento de 3 m. A superfície do tubo está a uma temperatura constante de 99°C. Nosso objetivo é descobrir qual será a temperatura da água quando ela sai do tubo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente relacionados a trocadores de calor. Vamos precisar calcular a taxa de calor transferido para a água e, a partir daí, determinar o aumento de temperatura dela.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a vazão volumétrica de água de m³/h para m³/s, porque geralmente trabalhando com unidades do SI fica mais fácil:
dotV = 4,54 , m^3h = 4,543600 , m^3/s approx 0,00126 , m^3/s

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a massa de água que está passando pelo tubo por segundo. Para isso, usamos a densidade da água. À temperatura média, que assumimos, a densidade da água é aproximadamente 1000 kg/m³:
dotm = rho cdot dotV = 1000 , kg/m^3 times 0,00126 , m^3/s = 1,26 , kg/s

Passo 4

Vamos calcular a área superficial interna do tubo através da qual o calor está sendo transferido. O diâmetro interno é de 25 mm, o que é 0,025 m. O comprimento do tubo é 3 m. A área superficial A = pi cdot d cdot L = pi times 0,025 , m times 3 , m approx 0,2356 , m^2 é:

Passo 5

Precisamos determinar a taxa de transferência de calor Q = h cdot A cdot (Ts - Tmédia) . Para isso, utilizamos a diferença de temperatura entre a superfície do tubo e a água. Porém, como a temperatura da superfície é constante, podemos considerar uma média da temperatura da água ao longo do tubo.
A fórmula geral para transferência de calor em uma superfície constante é:
é
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor convectivo.
  • é a área superficial.
  • é a temperatura da superfície.
  • é é a temperatura média da água.
Como não temos o valor de , precisamos relacionar isso com a energia necessária para aquecer a água.

Passo 6

Vamos usar a equação de conservação de energia, que relaciona a taxa de calor Q = dotm cdot cp cdot De com o aumento de temperatura da água:
De
Onde:
  • é a capacidade térmica específica da água (aprox. ).
  • é o aumento de temperatura da água.
Como queremos encontrar , rearranjamos a equação:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma maneira de relacionar R = 1h cdot A com as informações que temos. Podemos usar a analogia de resistências térmicas, onde a transferência de calor é similar à corrente elétrica passando por resistores.
A resistência térmica Q = De para convecção é dada por:
Q = dotm cdot cp cdot De
E a diferença de temperatura impulsionadora é é.
Usando a analogia, temos:
Mas para simplificar, vamos considerar que toda a energia transferida é usada para aquecer a água, assim:
E substituindo na equação de resistência térmica, podemos resolver .

Passo 8

Calculando a temperatura de saída Tmédia = Tentrada + Tsaída2 í:
Primeiro, vamos assumir que a temperatura média da água é a média entre a entrada e a saída:
dotm cdot cp cdot (Tsaída - Tentrada) = h cdot A cdot (Ts - Tentrada + Tsaída2) éí
Mas essa é uma aproximação. Para uma solução mais precisa, precisaríamos integrar ao longo do comprimento do tubo, mas para simplificação, vamos seguir com essa média.
Substituindo na equação de 1,26 cdot 4186 cdot (Tsaída - 10) = h cdot 0,2356 cdot (99 - 10 + Tsaída2) :
íí
Resolvendo para í:
íí
Sem o valor de , não podemos resolver diretamente, então precisamos calcular .

Passo 9

Para calcular Re = rho cdot v cdot dmu , usamos a correlação para fluxo totalmente desenvolvido em tubos, dada pela relação de Nusselt para fluxo laminar ou turbulento.
Primeiro, calculamos o número de Reynolds:
Aseccional = pi times (0,025)^24 approx 0,00049 , m^2
Onde:
  • v = 0,001260,00049 approx 2,57 , m/s é a velocidade média ( Re = 1000 times 2,57 times 0,0250,001 = 64250 ),
  • Nu = 0,023 cdot Re^0,8 cdot Pr^0,4 ,
  • Nu = 0,023 times (64250)^0,8 times 7^0,4 approx 0,023 times 5243 times 2,3 approx 277,3 é a viscosidade dinâmica da água (aprox. h = Nu cdot kd à temperatura média).
Calculando h = 277,3 times 0,60,025 approx 6669,6 , W/m^2°C :
Velocidade média:
Número de Reynolds:
Como , o fluxo é turbulento. Usamos a correlação de Dittus-Boelter para :
Onde é o número de Prandtl, que para a água é aproximadamente 7 à temperatura média.
Calculando :
Agora, o coeficiente de transferência de calor :
Onde é a condutividade térmica da água (aprox. 0,6 W/(m·°C)):

Passo 10

Voltando à equação anterior:
1,26 times 4186 times (Tsaída - 10) = 6669,6 times 0,2356 times (99 - 10 + Tsaída2) íí
Calculando:
5277,96 times (Tsaída - 10) = 1571,5 times (99 - 5 - 0,5 Tsaída) íí
5277,96 Tsaída - 52779,6 = 1571,5 times (94 - 0,5 Tsaída) íí
5277,96 Tsaída - 52779,6 = 147983 - 785,75 Tsaída íí
Somando 5277,96 Tsaída + 785,75 Tsaída = 147983 + 52779,6 í nos dois lados:
6063,71 Tsaída = 200762,6 íí
Tsaída = 200762,66063,71 approx 33,1 , °C í
í

Resposta

A temperatura de saída da água é aproximadamente 33,1 °C.

Exercícios relacionados