Água a
escoa sobre uma placa plana a uma velocidade de
. A placa tem 0.4 m de comprimento e 1 m de largura. A camada limite sobre cada face da placa é laminar. Admita que o perfil de velocidade pode ser aproximado como linear. Determine a força de arrasto sobre a placa.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma placa plana com 0,4 metros de comprimento e 1 metro de largura, sobre a qual a água a 15°C está escoando com uma velocidade de 1 m/s. Sabemos que a camada limite em cada face da placa é laminar e que o perfil de velocidade é linear. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força de arrasto que essa placa sofre devido ao fluxo de água.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente relacionados à camada limite laminar e ao cálculo da força de arrasto. Vamos seguir passo a passo para não pifar!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a camada limite laminar. Quando um fluido, como a água, flui sobre uma superfície, uma camada de fluido bem próxima à superfície fica em movimento mais lento devido à viscosidade. No caso laminar, o fluxo é suave e ordenado, sem turbulência.
A força de arrasto que queremos encontrar é causada pela viscosidade do fluido agindo sobre a superfície da placa. Para calcular essa força, precisamos primeiro determinar o coeficiente de atrito superficial.
Passo 3
O coeficiente de atrito $ C_f $ para uma camada limite laminar em um fluxo sobre placa plana pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, $ Re_x $ é o número de Reynolds local, que depende da posição $ x $ ao longo da placa. O número de Reynolds nos ajuda a entender se o fluxo será laminar ou turbulento.
Passo 4
O número de Reynolds $ Re_x $ é dado por:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $ para água a 15°C),
- $ v $ é a velocidade do fluxo (1 m/s),
- $ x $ é a posição ao longo da placa,
- $ \mu $ é a viscosidade dinâmica da água (aproximadamente $ 1.14 \times 10^{-3} , Pa \cdot s $ a 15°C).
Passo 5
Agora, vamos calcular a força de atrito $ F $ na placa. A força de atrito é dada por:
Onde $ A $ é a área da placa. Mas como $ C_f $ varia ao longo da placa, precisamos integrar essa expressão de 0 até $ L $ (comprimento da placa).
Passo 6
A área diferencial $ dA $ ao longo da placa é $ W , dx $, onde $ W $ é a largura da placa (1 m). Então, a força diferencial $ dF $ é:
Substituindo $ C_f $ pela expressão anterior:
Passo 7
Vamos substituir $ Re_x $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar $ dF $ de 0 a $ L $:
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ é $ 2\sqrt{x} $, então:
Passo 9
Simplificando os termos:
Simplificando a raiz:
Passo 10
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
- $ \rho = 1000 , kg/m^3 $
- $ v = 1 , m/s $
- $ W = 1 , m $
- $ \mu = 1.14 \times 10^{-3} , Pa \cdot s $
- $ L = 0.4 , m $
Substituindo:
Calculando as raízes:
Agora, multiplicando tudo:
Resposta
A força de arrasto sobre a placa é aproximadamente 0,9 N.
Exercícios relacionados
A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica
e espessura
tem a forma
. Desenvolva expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos em suas duas superficies
.
a) Calcular a perda de calor para cada metro quadrado de superfície por hora.
b) Sabendo-se que a área total do edifício é e que o poder calorífico do carvão é de
, determinar a quantidade de carvão a ser utilizada em um sistema de aquecimento durante um período de 10h. Supor o rendimento do sistema de aquecimento igual a
.
de área
b) Sabendo-se que a área total do edifício é
Ar entra em um duto longo, isolado termicamente, a
,
e
(abs.). A jusante as propriedades são
(abs.). (Quatro algarismos significativos são dados a fim de minimizar erros de arredondamento.) Avalie as condiçőes de estagnação isoentrópica local na seção de entrada.
Ar entra em um duto longo, isolado termicamente, a
,
e
(abs.). A jusante as propriedades são
(abs.). (Quatro algarismos significativos são dados a fim de minimizar erros de arredondamento.) Avalie as condiçőes de estagnação isoentrópica local na seção de saída. Calcule a variação na entropia específica ao longo do duto. Plote os pontos de estado de estagnação e estático num diagrama Ts.