Água a escoa sobre uma placa plana a uma velocidade de . A placa tem 0.4 m de comprimento e 1 m de largura. A camada limite sobre cada face da placa é laminar. Admita que o perfil de velocidade pode ser aproximado como linear. Determine a força de arrasto sobre a placa.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma placa plana com 0,4 metros de comprimento e 1 metro de largura, sobre a qual a água a 15°C está escoando com uma velocidade de 1 m/s. Sabemos que a camada limite em cada face da placa é laminar e que o perfil de velocidade é linear. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força de arrasto que essa placa sofre devido ao fluxo de água.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente relacionados à camada limite laminar e ao cálculo da força de arrasto. Vamos seguir passo a passo para não pifar!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a camada limite laminar. Quando um fluido, como a água, flui sobre uma superfície, uma camada de fluido bem próxima à superfície fica em movimento mais lento devido à viscosidade. No caso laminar, o fluxo é suave e ordenado, sem turbulência.
A força de arrasto que queremos encontrar é causada pela viscosidade do fluido agindo sobre a superfície da placa. Para calcular essa força, precisamos primeiro determinar o coeficiente de atrito superficial.

Passo 3

O coeficiente de atrito $ C_f $ para uma camada limite laminar em um fluxo sobre placa plana pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, $ Re_x $ é o número de Reynolds local, que depende da posição $ x $ ao longo da placa. O número de Reynolds nos ajuda a entender se o fluxo será laminar ou turbulento.

Passo 4

O número de Reynolds $ Re_x $ é dado por:
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $ para água a 15°C),
  • $ v $ é a velocidade do fluxo (1 m/s),
  • $ x $ é a posição ao longo da placa,
  • $ \mu $ é a viscosidade dinâmica da água (aproximadamente $ 1.14 \times 10^{-3} , Pa \cdot s $ a 15°C).

Passo 5

Agora, vamos calcular a força de atrito $ F $ na placa. A força de atrito é dada por:
Onde $ A $ é a área da placa. Mas como $ C_f $ varia ao longo da placa, precisamos integrar essa expressão de 0 até $ L $ (comprimento da placa).

Passo 6

A área diferencial $ dA $ ao longo da placa é $ W , dx $, onde $ W $ é a largura da placa (1 m). Então, a força diferencial $ dF $ é:
Substituindo $ C_f $ pela expressão anterior:

Passo 7

Vamos substituir $ Re_x $:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar $ dF $ de 0 a $ L $:
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ é $ 2\sqrt{x} $, então:

Passo 9

Simplificando os termos:
Simplificando a raiz:

Passo 10

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
  • $ \rho = 1000 , kg/m^3 $
  • $ v = 1 , m/s $
  • $ W = 1 , m $
  • $ \mu = 1.14 \times 10^{-3} , Pa \cdot s $
  • $ L = 0.4 , m $
Substituindo:
Calculando as raízes:
Agora, multiplicando tudo:

Resposta

A força de arrasto sobre a placa é aproximadamente 0,9 N.

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