A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma T= a x^3+b x^2+c x+d. Desenvolva expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos em suas duas superficies (x=0, L).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com transferência de calor, especificamente condução térmica em uma parede unidimensional em regime estacionário. A temperatura na parede é dada por uma função cúbica: $ T = a x^3 + b x^2 + c x + d $. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
  1. Taxa de geração de calor por unidade de volume na parede.
  2. Fluxos térmicos nas duas superfícies da parede, ou seja, em $ x = 0 $ e $ x = L $.
Para isso, vamos precisar usar a Lei de Fourier da condução de calor e entender um pouquinho de cálculo, como derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a taxa de geração de calor por unidade de volume, que é basicamente quanto calor está sendo criado ou absorvido em cada pedacinho da parede.
A gente sabe que, em regime estacionário (onde as condições não mudam com o tempo), a distribuição de temperatura é governada pela equação de condução de calor de Fourier com geração interna de calor:
d^2 Tdx^2 + q''' k = 0
Onde:
  • $ \frac{d^2 T}{dx^2} $ é a segunda derivada da temperatura em relação à posição $ x $,
  • $ q’’’ $ é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
  • $ k $ é a condutividade térmica da parede.
Vamos calcular as derivadas da função de temperatura $ T = a x^3 + b x^2 + c x + d $:
Primeira derivada (primeira taxa de variação da temperatura):
d^2 Tdx^2
Segunda derivada (segunda taxa de variação da temperatura):
x
Agora, substituímos na equação de Fourier:
q'''
Resolvendo para $ q’’’ $:
k
Então, a taxa de geração de calor por unidade de volume é:
T = a x^3 + b x^2 + c x + d

Passo 3

Agora, vamos encontrar os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede ($ x = 0 $ e $ x = L $).
A Lei de Fourier também nos diz que o fluxo térmico $ q $ é proporcional ao gradiente de temperatura:
x = 0
Isso significa que o fluxo térmico depende da derivada da temperatura em relação à posição.
Vamos calcular o fluxo em $ x = 0 $:
Primeiro, usamos a primeira derivada da temperatura:
x = L
Em $ x = 0 $:
q
Então, o fluxo térmico em $ x = 0 $ é:
q = -k dTdx
Agora, vamos calcular o fluxo em $ x = L $:
x = 0
Então, o fluxo térmico em $ x = L $ é:
dTdx = 3a x^2 + 2b x + c

Resposta

A taxa de geração de calor por unidade de volume na parede é:
q''' = -k (6a x + 2b)
E os fluxos térmicos nas superfícies da parede são:
q0 = -k cdot c
qL = -k (3a L^2 + 2b L + c)

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