Água deve ser fervida à pressão atmosférica (Tsat=100 ^circ C ) em um tanque que contém um aquecedor horizontal de cobre polido de diâmetro 15,2 cm e emissividade 0,05. Se a temperatura superficial do aquecedor é 420^circ C, determinar a taxa de transferência de calor para a água por unidade de comprimento do aquecedor

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um tanque com água que precisa ser fervida a 100°C na pressão atmosférica. Dentro desse tanque, tem um aquecedor de cobre polido, que é horizontal, com diâmetro de 15,2 cm e uma emissividade de 0,05. A temperatura da superfície desse aquecedor é de 420°C. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a taxa de transferência de calor para a água por unidade de comprimento desse aquecedor.
Vamos usar conceitos de transferência de calor por radiação, que é quando o calor é transferido através de ondas eletromagnéticas. Para calcular isso, vamos precisar usar a lei de Stefan-Boltzmann que nos ajuda a determinar a potência emitida por um corpo devido à radiação.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter todas as temperaturas para a escala Kelvin, já que as equações de radiação usam Kelvin.
A temperatura de fervura da água:
Tágua = 100,^circC + 273,15 = 373,15,K á
A temperatura da superfície do aquecedor:
Taquecedor = 420,^circC + 273,15 = 693,15,K

Passo 3

Agora, vamos aplicar a leis da radiação térmica. A taxa de transferência de calor por radiação é dada pela diferença entre a potência emitida pelo aquecedor e a potência absorvida pela água.
A fórmula geral é:
q = epsilon sigma A (Taquecedor^4 - Tágua^4) á
Onde:
  • $ \epsilon $ é a emissividade do material (0,05)
  • $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ( epsilon )
  • $ A $ é a área da superfície do aquecedor
  • $ T $ são as temperaturas em Kelvin

Passo 4

Como o aquecedor é horizontal e queremos a taxa por unidade de comprimento, vamos considerar que a área $ A $ é o perímetro do aquecedor multiplicado por 1 metro de comprimento.
Primeiro, calculamos o perímetro do aquecedor:
A í
Perímetro = pi d í
Então, a área por metro de comprimento é aproximadamente 0,478 m² por metro.

Passo 5

Agora, vamos substituir todos os valores na fórmula da transferência de calor:
q = 0,05 times 5,67 times 10^-8, W/m^2K^4 times 0,478,m^2 times (693,15^4 - 373,15^4),K^4
Primeiro, calculamos $ 693,15^4 $ e $ 373,15^4 $:
693,15^4
373,15^4
Então, a diferença é:
693,15^4 approx 2,291 times 10^11,K^4

Passo 6

Agora, multiplicamos todos os valores:
q = 0,05 times 5,67 times 10^-8 times 0,478 times 2,0983 times 10^11
Vamos calcular passo a passo:
  1. $ 0,05 \times 5,67 \times 10^{-8} = 2,835 \times 10^{-9} $
  2. $ 2,835 \times 10^{-9} \times 0,478 = 1,356 \times 10^{-9} $
  3. $ 1,356 \times 10^{-9} \times 2,0983 \times 10^{11} \approx 285 ,W/m $

Resposta

A taxa de transferência de calor para a água por unidade de comprimento do aquecedor é aproximadamente 285 W/m.

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