Em uma caldeira água ferve a 150^circ C por gases quentes escoando através de um tubo de aço inoxidável polido mecanicamente de 50 m de comprimento e 5 cm de diâmetro externo submerso na água. Se a temperatura da superfície externa do tubo é 165^circ C, determine:
(a) Taxa de transferência de calor dos gases quentes para a água;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma caldeira onde a água ferve a 150^circC porque gases quentes estão passando por um tubo de aço inoxidável. Esse tubo tem 50 metros de comprimento e 5 cm de diâmetro externo, e tá submerso na água. A superfície externa do tubo está a 165^circC. A gente precisa descobrir a taxa de transferência de calor dos gases quentes para a água.
Matéria envolvida: Transferência de calor por condução.
O que vamos precisar: Fórmula da condução de calor, propriedades térmicas do aço inoxidável, dimensões do tubo e as temperaturas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a fórmula que a gente vai usar. A transferência de calor por condução em um cilindro (como o tubo) é descrita pela Lei de Fourier. A fórmula básica para a taxa de transferência de calor ( Q) é:
Q = 2 pi k L (Ti - To)ln(ro / ri)
Onde:
  • k é a condutividade térmica do material (aço inoxidável).
  • L é o comprimento do tubo.
  • Ti é a temperatura interna (gases quentes).
  • To é a temperatura externa (superfície do tubo).
  • ri e ro são os raios interno e externo do tubo, respectivamente.
  • ln é o logaritmo natural.

Passo 3

Agora, vamos listar os valores que a gente já tem e o que falta:
  • Comprimento do tubo, L = 50 m.
  • Diâmetro externo do tubo, do = 5 cm Rightarrow ro = 2,5 cm = 0,025 m.
  • Temperatura interna dos gases, Ti = 150^circC.
  • Temperatura externa da superfície do tubo, To = 165^circC.
  • Precisamos da condutividade térmica do aço inoxidável. Vamos usar um valor típico: k = 16 W/(m·°C).
Observação: Não foi dado o diâmetro interno do tubo, então vamos assumir que a espessura do tubo é pequena em comparação com o raio, ou seja, ri approx ro. Nesse caso, ln(ro / ri) approx De, mas como não temos De, vamos simplificar assumindo um fluxo de calor direto.

Passo 4

Com as informações e as simplificações, vamos reorganizar a fórmula para encontrar Q:
Q = 2 pi k L (Ti - To)ln(ro / ri)
Mas como ri approx ro, podemos simplificar a fórmula para:
Q = 2 pi k L (Ti - To) / constante
No entanto, para uma aproximação mais simples, podemos usar a forma linear:
Q = h A De
Onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor por condução.
  • A é a área de superfície através da qual o calor está sendo transferido.
  • De.
Nota: Sem o valor de h, nossa melhor aposta é usar a primeira fórmula com os dados disponíveis.

Passo 5

Vamos usar a fórmula inicial mesmo. Substituindo os valores:
Q = 2 pi times 16 times 50 times (150 - 165)ln(0,025 / ri)
Mas como não temos ri, vamos ajustar nossa abordagem. Vamos considerar que a diferença de temperatura está causando a transferência de calor diretamente pela superfície externa.
Assim, a área da superfície externa do tubo é:
A = pi do L = pi times 0,05 times 50 = 7,85 , m^2

Passo 6

Usando a fórmula simplificada Q = h A De, precisamos estimar h. Para tubos em transferência de calor, h pode variar, mas vamos supor um valor típico para convecção em água: h = 500 W/(m²·°C).
Agora, calculamos De:
De

Passo 7

Substituindo na fórmula:
Q = 500 times 7,85 times 15 = 500 times 117,75 = 58.875 , W

Resposta

A taxa de transferência de calor dos gases quentes para a água é de aproximadamente 58.875 W.

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