Água entra em um canal bidimensional de largura constante,
, com velocidade uniforme,
. O canal faz uma curva de
que distorce o escoamento de modo a produzir, na saída, o perfil linear de velocidade mostrado com
. Avalie
, se
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Mecânica dos Fluidos! A situação envolve água que entra em um canal bidimensional com largura constante de
e velocidade uniforme
. Esse canal faz uma curva de
, o que distorce o fluxo e resulta em um perfil de velocidade na saída onde a velocidade máxima
é o dobro da velocidade mínima
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um perfil de velocidade linear. Isso significa que a velocidade do fluido varia de um ponto a outro de forma linear. No nosso caso, sabemos que
.
Para encontrar a velocidade mínima, precisamos calcular a velocidade média do fluido na saída do canal. A velocidade média (
) para um perfil linear é dada pela média aritmética das velocidades máxima e mínima:
Passo 3
Substituindo
na fórmula da velocidade média, temos:
Agora, como a largura do canal é constante e não há perdas, a conservação da massa nos diz que a velocidade média na entrada deve ser igual à velocidade média na saída. Portanto:
Substituindo na equação anterior:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por 3:
Resposta
A velocidade mínima é
.