A área sombreada mostrada está em um escoamento onde 0 campo de velocidade é dado por
. Escreva uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada. Avalie as integrais
e
. sobre a área sombreada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo vetorial, especificamente de campos de velocidade e integrais de fluxo sobre uma área sombreada. Precisamos:
- Escrever uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada.
- Avaliar as integrais
e sobre essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um elemento de área vetorial (
). Em cálculo vetorial,
representa um vetor perpendicular à superfície com magnitude igual à área desse elemento. Para expressar
, precisamos saber a orientação da superfície sombreada.
Passo 3
Como não temos a figura do exercício, vamos supor que a área sombreada esteja em um plano específico, por exemplo, no plano
. Assim, o vetor normal seria na direção do eixo
, ou seja,
. Portanto, podemos expressar o elemento de área vetorial como:
onde
é a área infinitesimal no plano
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a primeira integral:
. Isso representa o fluxo do campo de velocidade através da área sombreada. A fórmula do fluxo é a integral do produto escalar entre o campo vetorial e o vetor área.
Passo 5
Substituindo
e
na integral:
O produto escalar
fica:
pois
e
.
Passo 6
Portanto, a integral do fluxo é:
onde
é a área total da região sombreada.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda integral:
. Aqui, estamos multiplicando o campo de velocidade pelo fluxo que calculamos anteriormente.
Passo 8
Substituindo novamente:
Passo 9
Integrando sobre a área sombreada:
Passo 10
Para resolver essas integrais, precisamos das coordenadas do centro de massa da área sombreada:
Se a área está centrada na origem, então
.
Passo 11
Substituindo:
Resposta
A expressão vetorial para um elemento da área sombreada é
. As integrais avaliadas são:
Exercícios relacionados
O esquema a seguir corresponde à seção longitudinal de um canal de
de largura. Admitindo escoamento bidimensional e sendo o diagrama de velocidades dado por
(
;
), bem como o fluido de peso específico:
e viscosidade cinemática:
e
, determinar:
a vazão em massa na seção. Respostas: a) ; b)
; c)
; d)
superfície livre
a vazão em massa na seção. Respostas: a)
superfície livre
Um agricultor de arroz necessita encher de água uma área de plantio de
, com uma profundidade de
em 1 h . Quantos tubos de suprimento de água com
de diâmetro são necessários se a velocidade média em cada um deve ser menor que
?
Água entra em um canal bidimensional de largura constante,
, com velocidade uniforme,
. O canal faz uma curva de
que distorce o escoamento de modo a produzir, na saída, o perfil linear de velocidade mostrado com
. Avalie
, se
.
Um reservatório cilíndrico de exploração de água possui um diâmetro interno igual a 3 m , e uma altura de 3 m . Existe somente uma entrada com diâmetro igual a 10 cm , uma saída com diâmetro de 8 cm , e um dreno. Inicialmente o tanque está vazio quando a bomba de entrada é acionada, produzindo uma velocidade média na entrada de
. Quando o nível do tanque atinge
, a bomba de saída é acionada, causando uma vazão para fora do tanque na saída; a velocidade média na saída é
. Quando o nível de água atinge 2 m , o dreno é aberto de tal forma que o nível permanece em 2 m .
4) Um laboratório universitário deseja construir um túnel de vento de vazão com velocidades variáveis do ar. Para isso, propõe-se construir o túnel com uma sequência de três seções de teste circulares: A seção 1 terá um diâmetro de 1,5 m, a seção 2 um diâmetro de 1 m e a seção 3 um diâmetro tal que a velocidade média seja
.
a) Quais serão as velocidades nas seções 1 e 2? R: e
4) Um laboratório universitário deseja construir um túnel de vento de vazão
a) Quais serão as velocidades nas seções 1 e 2? R: