A área sombreada mostrada está em um escoamento onde 0 campo de velocidade é dado por V=a x i+b y j+c k ; a=b=2 s^-1 c c=1 m / s. Escreva uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada. Avalie as integrais integralA V cdot d A e integralA V(V cdot d A). sobre a área sombreada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo vetorial, especificamente de campos de velocidade e integrais de fluxo sobre uma área sombreada. Precisamos:
  1. Escrever uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada.
  2. Avaliar as integrais integralA V cdot dA e integralA V(V cdot dA) sobre essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um elemento de área vetorial ( dA). Em cálculo vetorial, dA representa um vetor perpendicular à superfície com magnitude igual à área desse elemento. Para expressar dA, precisamos saber a orientação da superfície sombreada.

Passo 3

Como não temos a figura do exercício, vamos supor que a área sombreada esteja em um plano específico, por exemplo, no plano xy. Assim, o vetor normal seria na direção do eixo z, ou seja, k. Portanto, podemos expressar o elemento de área vetorial como:
dA = k , dA
onde dA é a área infinitesimal no plano xy.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a primeira integral: integralA V cdot dA. Isso representa o fluxo do campo de velocidade através da área sombreada. A fórmula do fluxo é a integral do produto escalar entre o campo vetorial e o vetor área.

Passo 5

Substituindo V e dA na integral:
V = a x i + b y j + c k dA = k , dA
O produto escalar V cdot dA fica:
(a x i + b y j + c k) cdot (k , dA) = c , dA
pois i cdot k = 0 e j cdot k = 0.

Passo 6

Portanto, a integral do fluxo é:
integralA V cdot dA = integralA c , dA = c integralA dA = c , A
onde A é a área total da região sombreada.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral: integralA V (V cdot dA). Aqui, estamos multiplicando o campo de velocidade pelo fluxo que calculamos anteriormente.

Passo 8

Substituindo novamente:
V (V cdot dA) = (a x i + b y j + c k) (c , dA) = c (a x i + b y j + c k) dA

Passo 9

Integrando sobre a área sombreada:
integralA V (V cdot dA) = c integralA (a x i + b y j + c k) dA = c ( a i integralA x , dA + b j integralA y , dA + c k integralA dA )

Passo 10

Para resolver essas integrais, precisamos das coordenadas do centro de massa da área sombreada:
integralA x , dA = A cdot barx integralA y , dA = A cdot bary integralA dA = A
Se a área está centrada na origem, então barx = bary = 0.

Passo 11

Substituindo:
integralA V (V cdot dA) = c ( a i cdot 0 + b j cdot 0 + c k cdot A ) = c^2 A k

Resposta

A expressão vetorial para um elemento da área sombreada é dA = k , dA. As integrais avaliadas são:
integralA V cdot dA = c , A integralA V (V cdot dA) = c^2 A k

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