A área sombreada mostrada está em um escoamento onde 0 campo de velocidade é dado por . Escreva uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada. Avalie as integrais e . sobre a área sombreada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo vetorial, especificamente de campos de velocidade e integrais de fluxo sobre uma área sombreada. Precisamos:
  1. Escrever uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada.
  2. Avaliar as integrais e sobre essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um elemento de área vetorial ( ). Em cálculo vetorial, representa um vetor perpendicular à superfície com magnitude igual à área desse elemento. Para expressar , precisamos saber a orientação da superfície sombreada.

Passo 3

Como não temos a figura do exercício, vamos supor que a área sombreada esteja em um plano específico, por exemplo, no plano . Assim, o vetor normal seria na direção do eixo , ou seja, . Portanto, podemos expressar o elemento de área vetorial como:
onde é a área infinitesimal no plano .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a primeira integral: . Isso representa o fluxo do campo de velocidade através da área sombreada. A fórmula do fluxo é a integral do produto escalar entre o campo vetorial e o vetor área.

Passo 5

Substituindo e na integral:
O produto escalar fica:
pois e .

Passo 6

Portanto, a integral do fluxo é:
onde é a área total da região sombreada.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral: . Aqui, estamos multiplicando o campo de velocidade pelo fluxo que calculamos anteriormente.

Passo 8

Substituindo novamente:

Passo 9

Integrando sobre a área sombreada:

Passo 10

Para resolver essas integrais, precisamos das coordenadas do centro de massa da área sombreada:
Se a área está centrada na origem, então .

Passo 11

Substituindo:

Resposta

A expressão vetorial para um elemento da área sombreada é . As integrais avaliadas são:

Exercícios relacionados

O esquema a seguir corresponde à seção longitudinal de um canal de de largura. Admitindo escoamento bidimensional e sendo o diagrama de velocidades dado por ( ; ), bem como o fluido de peso específico: e viscosidade cinemática: e , determinar:
a vazão em massa na seção. Respostas: a) ; b) ; c) ; d)
superfície livre
Um agricultor de arroz necessita encher de água uma área de plantio de , com uma profundidade de em 1 h . Quantos tubos de suprimento de água com de diâmetro são necessários se a velocidade média em cada um deve ser menor que ?
Água entra em um canal bidimensional de largura constante, , com velocidade uniforme, . O canal faz uma curva de que distorce o escoamento de modo a produzir, na saída, o perfil linear de velocidade mostrado com á. Avalie , se .
Um reservatório cilíndrico de exploração de água possui um diâmetro interno igual a 3 m , e uma altura de 3 m . Existe somente uma entrada com diâmetro igual a 10 cm , uma saída com diâmetro de 8 cm , e um dreno. Inicialmente o tanque está vazio quando a bomba de entrada é acionada, produzindo uma velocidade média na entrada de . Quando o nível do tanque atinge , a bomba de saída é acionada, causando uma vazão para fora do tanque na saída; a velocidade média na saída é . Quando o nível de água atinge 2 m , o dreno é aberto de tal forma que o nível permanece em 2 m .
4) Um laboratório universitário deseja construir um túnel de vento de vazão com velocidades variáveis do ar. Para isso, propõe-se construir o túnel com uma sequência de três seções de teste circulares: A seção 1 terá um diâmetro de 1,5 m, a seção 2 um diâmetro de 1 m e a seção 3 um diâmetro tal que a velocidade média seja .
a) Quais serão as velocidades nas seções 1 e 2? R: e