A área sombreada mostrada está em um escoamento onde 0 campo de velocidade é dado por
. Escreva uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada. Avalie as integrais
e
. sobre a área sombreada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cálculo vetorial, especificamente de campos de velocidade e integrais de fluxo sobre uma área sombreada. Precisamos:
- Escrever uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada.
- Avaliar as integrais
e sobre essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um elemento de área vetorial (
). Em cálculo vetorial,
representa um vetor perpendicular à superfície com magnitude igual à área desse elemento. Para expressar
, precisamos saber a orientação da superfície sombreada.
Passo 3
Como não temos a figura do exercício, vamos supor que a área sombreada esteja em um plano específico, por exemplo, no plano
. Assim, o vetor normal seria na direção do eixo
, ou seja,
. Portanto, podemos expressar o elemento de área vetorial como:
onde
é a área infinitesimal no plano
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a primeira integral:
. Isso representa o fluxo do campo de velocidade através da área sombreada. A fórmula do fluxo é a integral do produto escalar entre o campo vetorial e o vetor área.
Passo 5
Substituindo
e
na integral:
O produto escalar
fica:
pois
e
.
Passo 6
Portanto, a integral do fluxo é:
onde
é a área total da região sombreada.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda integral:
. Aqui, estamos multiplicando o campo de velocidade pelo fluxo que calculamos anteriormente.
Passo 8
Substituindo novamente:
Passo 9
Integrando sobre a área sombreada:
Passo 10
Para resolver essas integrais, precisamos das coordenadas do centro de massa da área sombreada:
Se a área está centrada na origem, então
.
Passo 11
Substituindo:
Resposta
A expressão vetorial para um elemento da área sombreada é
. As integrais avaliadas são: