Um tanque cilíndrico de 1100 L encontrava-se cheio de água. Num dado instante, a válvula na parte inferior do tanque se rompe e a água flui para fora a uma taxa de
onde V é o volume restante de água dentro do tanque. Determine (a) o volume no tanque após 2 min da abertura da válvula. (b) qual a altura de água no tanque nesse momento? Considere que o tanque tem 1 m altura e 1,18 m de diâmetro. (
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque cilíndrico que começa cheio com 1100 litros de água. De repente, a válvula de baixo se rompe e a água começa a sair. A taxa de saída da água depende do volume que ainda está no tanque, seguindo a relação $ \frac{dV}{dt} = -0,20 , V $ litros por minuto, onde $ V $ é o volume de água restante no tanque. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o volume de água no tanque após 2 minutos.
b) Determinar a altura da água no tanque nesse mesmo momento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente equações diferenciais, para modelar como o volume de água diminui com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Isso é uma equação diferencial do tipo separável, que descreve como o volume $ V $ muda com o tempo $ t $. O sinal negativo indica que o volume está diminuindo ao longo do tempo.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Podemos separar as variáveis $ V $ e $ t $:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde $ C $ é a constante de integração. Podemos resolver para $ V $:
Podemos simplificar $ e^{C} $ como uma nova constante $ V_0 $ (volume inicial):
Passo 4
Sabemos que no tempo $ t = 0 $, o volume $ V = 1100 $ litros. Vamos usar isso para encontrar $ V_0 $:
Agora, a equação fica:
Queremos encontrar o volume após 2 minutos:
Calculando $ e^{-0,40} $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a altura da água no tanque após 2 minutos. Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
Onde:
- $ V $ é o volume,
- $ r $ é o raio da base,
- $ h $ é a altura da água.
Primeiro, encontramos o raio do tanque. O diâmetro é 1,18 m, então o raio $ r $ é:
Convertendo o volume para metros cúbicos para manter as unidades consistentes:
Agora, resolvemos para $ h $:
Calculando $ \pi \cdot (0,59)^2 $:
Então:
Convertendo para centímetros:
Resposta
a) Após 2 minutos, o volume de água no tanque é aproximadamente 737 litros.
b) A altura da água no tanque nesse momento é de aproximadamente 67,4 centímetros.
Exercícios relacionados
Após um processo de pirólise, a análise do gás de um produto forneceu
de
de
de
de
de
e
de
. Esse gás entrou na câmara de combustão a
e a uma pressão de 35 inHg , foi queimado com 40% de excesso de ar (seco) que estava a
e a uma pressão atmosférica de 29,4 inHg, e 10% de CO permaneceram não queimados. Considerando como base de cálculo 100 lbmol de gás entrando na câmara de combustão e, sabendo que o gás de exaustão (saída de câmara de combustão) estava a 29,4 inHg e
F calcule a razão volumétrica entre o gás de exaustão e o de entrada.
Um tanque contendo um líquido A , é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início (
), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é
. Passadas 5 h , a taxa de retirada foi determinada como sendo
. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de
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) [kg/h]. (
750+50t) (b) Escreva e resolva o balanço de massa diferencial para o líquido. (
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? (
) (e) Qual o tempo necessário para esvaziar o tanque? (t = 19,5h)
Água está entrando em um tanque bem agitado a
e NaCl é adicionado a
. A solução resultante deixa o tanque a
. Devido a agitação, a concentração da solução de saída é a mesma do interior do tanque. Há 100 kg de água fresca no tanque, no início da operação e as vazões de entrada e saída permanecem constantes a partir daí. Calcule a concentração de saída (fração mássica) após 1 h. (
)
Considere um tanque selado de volume V e carregado com ar comprimido a
, sob pressão
. Ele se encontra num local a
e pressão atmosférica
. De repente o lacre se rompe, criando uma abertura de área A. No tempo t a pressão no tanque cai para P. Quanto levará para que a pressão no tanque alcance
? Considere que a velocidade no orifício seja
.