Um tanque cilíndrico de 1100 L encontrava-se cheio de água. Num dado instante, a válvula na parte inferior do tanque se rompe e a água flui para fora a uma taxa de
onde V é o volume restante de água dentro do tanque. Determine (a) o volume no tanque após 2 min da abertura da válvula. (b) qual a altura de água no tanque nesse momento? Considere que o tanque tem 1 m altura e 1,18 m de diâmetro. (
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque cilíndrico que começa cheio com 1100 litros de água. De repente, a válvula de baixo se rompe e a água começa a sair. A taxa de saída da água depende do volume que ainda está no tanque, seguindo a relação $ \frac{dV}{dt} = -0,20 , V $ litros por minuto, onde $ V $ é o volume de água restante no tanque. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o volume de água no tanque após 2 minutos.
b) Determinar a altura da água no tanque nesse mesmo momento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente equações diferenciais, para modelar como o volume de água diminui com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Isso é uma equação diferencial do tipo separável, que descreve como o volume $ V $ muda com o tempo $ t $. O sinal negativo indica que o volume está diminuindo ao longo do tempo.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Podemos separar as variáveis $ V $ e $ t $:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso nos dá:
Onde $ C $ é a constante de integração. Podemos resolver para $ V $:
Podemos simplificar $ e^{C} $ como uma nova constante $ V_0 $ (volume inicial):
Passo 4
Sabemos que no tempo $ t = 0 $, o volume $ V = 1100 $ litros. Vamos usar isso para encontrar $ V_0 $:
Agora, a equação fica:
Queremos encontrar o volume após 2 minutos:
Calculando $ e^{-0,40} $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a altura da água no tanque após 2 minutos. Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
Onde:
- $ V $ é o volume,
- $ r $ é o raio da base,
- $ h $ é a altura da água.
Primeiro, encontramos o raio do tanque. O diâmetro é 1,18 m, então o raio $ r $ é:
Convertendo o volume para metros cúbicos para manter as unidades consistentes:
Agora, resolvemos para $ h $:
Calculando $ \pi \cdot (0,59)^2 $:
Então:
Convertendo para centímetros:
Resposta
a) Após 2 minutos, o volume de água no tanque é aproximadamente 737 litros.
b) A altura da água no tanque nesse momento é de aproximadamente 67,4 centímetros.