Um tanque cilíndrico de 1100 L encontrava-se cheio de água. Num dado instante, a válvula na parte inferior do tanque se rompe e a água flui para fora a uma taxa de 0,20 VL / min onde V é o volume restante de água dentro do tanque. Determine (a) o volume no tanque após 2 min da abertura da válvula. (b) qual a altura de água no tanque nesse momento? Considere que o tanque tem 1 m altura e 1,18 m de diâmetro. ( V=737 L ; z=67,4 cm )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tanque cilíndrico que começa cheio com 1100 litros de água. De repente, a válvula de baixo se rompe e a água começa a sair. A taxa de saída da água depende do volume que ainda está no tanque, seguindo a relação $ \frac{dV}{dt} = -0,20 , V $ litros por minuto, onde $ V $ é o volume de água restante no tanque. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o volume de água no tanque após 2 minutos.
b) Determinar a altura da água no tanque nesse mesmo momento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente equações diferenciais, para modelar como o volume de água diminui com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
dVdt = -0,20 , V
Isso é uma equação diferencial do tipo separável, que descreve como o volume $ V $ muda com o tempo $ t $. O sinal negativo indica que o volume está diminuindo ao longo do tempo.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Podemos separar as variáveis $ V $ e $ t $:
V
Agora, integramos ambos os lados:
t
Isso nos dá:
dVV = -0,20 , dt
Onde $ C $ é a constante de integração. Podemos resolver para $ V $:
integral 1V , dV = integral -0,20 , dt
Podemos simplificar $ e^{C} $ como uma nova constante $ V_0 $ (volume inicial):
ln |V| = -0,20 , t + C

Passo 4

Sabemos que no tempo $ t = 0 $, o volume $ V = 1100 $ litros. Vamos usar isso para encontrar $ V_0 $:
t = 0
Agora, a equação fica:
V = 1100
Queremos encontrar o volume após 2 minutos:
V0
Calculando $ e^{-0,40} $:
V(0) = 1100 = V0 cdot e^0 implies V0 = 1100 , L
Então:
V(t) = 1100 cdot e^-0,20 , t

Passo 5

Agora, vamos encontrar a altura da água no tanque após 2 minutos. Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
V = pi cdot r^2 cdot h
Onde:
  • $ V $ é o volume,
  • $ r $ é o raio da base,
  • $ h $ é a altura da água.
Primeiro, encontramos o raio do tanque. O diâmetro é 1,18 m, então o raio $ r $ é:
V
Convertendo o volume para metros cúbicos para manter as unidades consistentes:
r
Agora, resolvemos para $ h $:
h
Calculando $ \pi \cdot (0,59)^2 $:
r
Então:
r = 1,182 = 0,59 , m
Convertendo para centímetros:
737 , L = 0,737 , m^3

Resposta

a) Após 2 minutos, o volume de água no tanque é aproximadamente 737 litros.
b) A altura da água no tanque nesse momento é de aproximadamente 67,4 centímetros.

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