Água escoa por um conduto que possui dois ramais em derivação. O diâmetro do conduto principal (1) é de 15 cm e os das derivações (2) e (3) são 2,5 e 5 cm , respectivamente. O perfil de velocidades no conduto (1) é dado por v1=10[1-(r / 7,5)^2] e na derivação (2), v2=13[1-(r / 1,25)^3], ambos em cm / s. A derivação (3) é um tubo poroso de comprimento 20 cm , fechado na extremidade, através do qual água jorra pelas paredes, de maneira que o perfil é linear, conforme a figura.
b) Sabe-se que a derivação (2) está alimentando um tanque aberto para a atmosfera de 1 m de diâmetro e 3 m de altura. Determine o tempo necessário para encher este tanque, sabendo que inicialmente ele está cheio com 1 / 3 da sua altura.
Dado: rho=1 g / cm^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre água escoando por um conduto principal que se divide em dois ramais. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para encher um tanque que já está parcialmente cheio, usando as informações da derivação (2). A matéria que vamos usar aqui é Mecânica dos Fluidos, especificamente conceitos de vazão e fluxo de fluidos. Para resolver, vamos precisar calcular a vazão da derivação (2) e o volume que falta no tanque para então determinar o tempo necessário para encher.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a vazão da derivação (2). A vazão v2 = 13[1 - (r1,25)^3] , cm/s é a quantidade de fluido que passa por uma área por unidade de tempo. Para determinar isso, precisamos integrar o perfil de velocidades ao longo da área da seção transversal do conduto.
A fórmula da velocidade na derivação (2) é:
Q = 2pi integral0^R v2(r) cdot r , dr
O diâmetro do conduto é 2,5 cm, então o raio Q = 2pi integral0^1,25 13[1 - (r1,25)^3] r , dr é 1,25 cm.
A vazão é dada por:
Substituindo :
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 3

Vamos resolver a integral:
Q = 2pi cdot 13 integral0^1,25 [1 - (r1,25)^3] r , dr
Multiplicando os termos dentro da integral:
Q = 26pi integral0^1,25 [r - r^41,25^3] dr
Agora, integramos termo a termo:
integral r , dr = 12 r^2
integral r^4 , dr = 15 r^5
Aplicando os limites de 0 a 1,25:
Q = 26pi [ 12 (1,25)^2 - 15 cdot 1,25^3 (1,25)^5 ]
Simplificando:
Q = 26pi [ 12 cdot 1,5625 - 15 cdot 1,25^2 ]
Q = 26pi [ 0,78125 - 15 cdot 1,5625 ]
Q = 26pi [ 0,78125 - 0,3125 ] = 26pi cdot 0,46875
Q approx 26 cdot 3,1416 cdot 0,46875 approx 38,27 , cm^3/s

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume do tanque e quanto falta para encher. O tanque tem 1 m de diâmetro e 3 m de altura. Primeiro, convertemos para centímetros:
Diâmetro = 100 , cm Rightarrow Raio = 50 , cm â
A
O volume total Vtotal = pi r^2 h = pi cdot 50^2 cdot 300 = pi cdot 2500 cdot 300 = 750000pi , cm^3 do tanque é:
Vinicial = 13 cdot Vtotal = 13 cdot 750000pi = 250000pi , cm^3
Inicialmente, o tanque está cheio com 1/3 da altura, então o volume inicial Vfa é:
O volume que falta para encher o tanque é:

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar o tempo necessário para encher o volume faltante usando a vazão calculada.
A fórmula é:
Tempo = Vfa
Calculando:
Tempo approx 500000 cdot 3,141638,27 approx 1.5708 times 10^638,27 approx 41.0 times 10^3 , s
Convertendo para horas:
41.000 , s div 3600 approx 11,4 , horas

Resposta

O tempo necessário para encher o tanque é de aproximadamente 11,4 horas.

Exercícios relacionados