Água escoa por um conduto que possui dois ramais em derivação. O diâmetro do conduto principal (1) é de 15 cm e os das derivações (2) e (3) são 2,5 e 5 cm , respectivamente. O perfil de velocidades no conduto (1) é dado por
e na derivação (2),
, ambos em
. A derivação (3) é um tubo poroso de comprimento 20 cm , fechado na extremidade, através do qual água jorra pelas paredes, de maneira que o perfil é linear, conforme a figura.
b) Sabe-se que a derivação (2) está alimentando um tanque aberto para a atmosfera de 1 m de diâmetro e 3 m de altura. Determine o tempo necessário para encher este tanque, sabendo que inicialmente ele está cheio com
da sua altura.
Dado:
.
b) Sabe-se que a derivação (2) está alimentando um tanque aberto para a atmosfera de 1 m de diâmetro e 3 m de altura. Determine o tempo necessário para encher este tanque, sabendo que inicialmente ele está cheio com
Dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre água escoando por um conduto principal que se divide em dois ramais. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para encher um tanque que já está parcialmente cheio, usando as informações da derivação (2). A matéria que vamos usar aqui é Mecânica dos Fluidos, especificamente conceitos de vazão e fluxo de fluidos. Para resolver, vamos precisar calcular a vazão da derivação (2) e o volume que falta no tanque para então determinar o tempo necessário para encher.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a vazão da derivação (2). A vazão
é a quantidade de fluido que passa por uma área por unidade de tempo. Para determinar isso, precisamos integrar o perfil de velocidades ao longo da área da seção transversal do conduto.
A fórmula da velocidade na derivação (2) é:
O diâmetro do conduto é 2,5 cm, então o raio
é 1,25 cm.
A vazão
é dada por:
Substituindo
:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Multiplicando os termos dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a 1,25:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume do tanque e quanto falta para encher. O tanque tem 1 m de diâmetro e 3 m de altura. Primeiro, convertemos para centímetros:
O volume total
do tanque é:
Inicialmente, o tanque está cheio com 1/3 da altura, então o volume inicial
é:
O volume que falta para encher o tanque é:
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar o tempo necessário para encher o volume faltante usando a vazão calculada.
A fórmula é:
Calculando:
Convertendo para horas:
Resposta
O tempo necessário para encher o tanque é de aproximadamente 11,4 horas.