Um tubo horizontal com 50 m de comprimento está ligado a um grande reservatório. Que profundidade, d, deve ser mantida no reservatório para produzir uma vazão de 0,01 m^3 / s de água? O diâmetro interno do tubo (rugosidade, e=0,0003 m) é 78 mm. A entrada é reentrante e a água descarrega para a atmosfera. Admita que o fluido é água: massa específica =10^3 kg / m^3 e viscosidade absoluta =1 / 10^4 kg / m.s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tubo horizontal de 50 metros ligado a um reservatório grande. A pergunta é: qual a profundidade que devemos manter no reservatório para conseguir uma vazão de de água? A gente vai usar conhecimentos de hidráulica de escoamentos, principalmente a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga no tubo. Precisamos saber coisas como diâmetro do tubo, viscosidade da água, comprimento do tubo e a rugosidade interna.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do tubo. O diâmetro interno A = pi (D2)^2 é 78 mm, que em metros fica A = pi (0,0782)^2 approx 0,00477 , m^2 . A área de um círculo é dada por:
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, vamos descobrir a velocidade da água no tubo usando a vazão Q = A times V Rightarrow V = QA e a área V = 0,010,00477 approx 2,1 , m/s . A relação é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Antes de continuar, precisamos saber se o fluxo está laminar ou turbulento. Para isso, calculamos o Número de Reynolds Re = rho V Dmu :
Re = 1000 times 2,1 times 0,0781 times 10^-4 = 1.638.000
Onde:
  • (massa específica da água)
  • (velocidade)
  • (diâmetro)
  • (viscosidade)
Calculando:
Como , o fluxo é turbulento.

Passo 5

Com o fluxo turbulento, usamos uma aproximação para o fator de atrito f = 0,25 [ log ( e3,7D + 5,74Re^0,9 ) ]^-2 . Uma das maneiras é usar a equação de Colebrook, mas vamos simplificar usando a fórmula de Swamee-Jain:
e3,7D = 0,00033,7 times 0,078 approx 0,00104
Substituindo os valores:
  • 5,74Re^0,9 approx 5,741.638.000^0,9 approx 0,00035
  • e3,7D + 5,74Re^0,9 approx 0,00104 + 0,00035 = 0,00139
  • f = 0,25 [ log(0,00139) ]^-2 approx 0,25 [ -2,86 ]^-2 approx 0,25 times 0,122 approx 0,0305
Primeiro, calculamos dentro do log:
Agora:

Passo 6

Vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para achar a perda de carga hf = f times LD times V^22g :
hf = 0,0305 times 500,078 times 2,1^22 times 9,81
Onde:
  • hf approx 0,0305 times 641,03 times 4,4119,62 approx 0,0305 times 641,03 times 0,225 approx 4,38 , m (comprimento do tubo)
Substituindo:

Passo 7

A perda de carga d = hf approx 4,38 , m é igual à profundidade que queremos encontrar, já que a água está sendo elevada pelo reservatório. Portanto:

Resposta

A profundidade que deve ser mantida no reservatório é de aproximadamente 4,38 metros.

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