Água escoa sob uma comporta, em um leito horizontal na entrada de um canal. A montante da comporta, a profundidade da água é e a velocidade é desprezível. Na seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, as linhas de corrente são retilíneas e a profundidade é de 50 mm. Utilize as considerações necessárias para que a equação de Bernoulli possa ser utilizada e determine a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão, , por metro de largura e em pés cúbicos por segundo, por pés de largura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre água escoando sob uma comporta em um canal. A montante da comporta, a profundidade da água é de 0,45 metros e a velocidade é praticamente zero. Na seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, a profundidade diminui para 50 mm e as linhas de corrente ficam retas. Vamos usar a Equação de Bernoulli para encontrar a velocidade do escoamento depois da comporta e também a vazão, tanto em metros cúbicos por segundo por metro de largura quanto em pés cúbicos por segundo por pés de largura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a Equação de Bernoulli nos diz. Ela relaciona a pressão, a velocidade e a altura em diferentes pontos de um fluido em movimento. A equação assume que o escoamento é incompressível e sem perdas de energia.
A forma simplificada da equação entre dois pontos ao longo de uma linha de corrente é:
Onde:
  • é a pressão
  • é a densidade da água
  • é a velocidade
  • é a aceleração da gravidade
  • é a altura

Passo 3

No ponto montante da comporta (Ponto 1), sabemos que:
  • A profundidade m
  • A velocidade é desprezível, então m/s
Na seção contraída a jusante da comporta (Ponto 2), temos:
  • A profundidade m (50 mm)
  • Queremos encontrar a velocidade

Passo 4

Assumindo que a pressão está atmosférica em ambos os pontos e que não há diferença de altura além da profundidade da água, a equação de Bernoulli simplifica para:
Como , a equação fica:

Passo 5

Podemos simplificar dividindo toda a equação por :
Isolando :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, substituímos os valores:
Calculando :

Passo 7

Agora que temos a velocidade , podemos calcular a vazão . A vazão é o produto da velocidade pela área da seção transversal. Como o problema pede por metro de largura, consideramos uma unidade de largura de 1 metro.
A área é:
Então, a vazão:

Passo 8

Para converter a vazão para pés cúbicos por segundo por pés de largura, usamos a seguinte relação:
Primeiro, convertemos a vazão em para :
Como a largura é de 1 metro (3,28084 pés), a vazão por pés de largura é:
é

Resposta

A velocidade do escoamento a jusante da comporta é aproximadamente , e a vazão é por metro de largura ou por pé de largura.

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