Água escoa sob uma comporta, em um leito horizontal na entrada de um canal. A montante da comporta, a profundidade da água é 0,45 m e a velocidade é desprezível. Na seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, as linhas de corrente são retilíneas e a profundidade é de 50 mm. Utilize as considerações necessárias para que a equação de Bernoulli possa ser utilizada e determine a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão, em m^3 / s, por metro de largura e em pés cúbicos por segundo, por pés de largura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre água escoando sob uma comporta em um canal. A montante da comporta, a profundidade da água é de 0,45 metros e a velocidade é praticamente zero. Na seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, a profundidade diminui para 50 mm e as linhas de corrente ficam retas. Vamos usar a Equação de Bernoulli para encontrar a velocidade do escoamento depois da comporta e também a vazão, tanto em metros cúbicos por segundo por metro de largura quanto em pés cúbicos por segundo por pés de largura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a Equação de Bernoulli nos diz. Ela relaciona a pressão, a velocidade e a altura em diferentes pontos de um fluido em movimento. A equação assume que o escoamento é incompressível e sem perdas de energia.
A forma simplificada da equação entre dois pontos ao longo de uma linha de corrente é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • é a pressão
  • é a densidade da água
  • é a velocidade
  • é a aceleração da gravidade
  • é a altura

Passo 3

No ponto montante da comporta (Ponto 1), sabemos que:
  • A profundidade m
  • A velocidade é desprezível, então m/s
Na seção contraída a jusante da comporta (Ponto 2), temos:
  • A profundidade m (50 mm)
  • Queremos encontrar a velocidade

Passo 4

Assumindo que a pressão está atmosférica em ambos os pontos e que não há diferença de altura além da profundidade da água, a equação de Bernoulli simplifica para:
12 rho v1^2 + rho g h1 = 12 rho v2^2 + rho g h2
Como rho g h1 = 12 rho v2^2 + rho g h2 , a equação fica:

Passo 5

Podemos simplificar dividindo toda a equação por g h1 = 12 v2^2 + g h2 :
12 v2^2 = g (h1 - h2)
Isolando v2^2 = 2 g (h1 - h2) :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, substituímos os valores:
v2^2 = 2 times 9,81 , m/s^2 times (0,45 , m - 0,05 , m) = 2 times 9,81 times 0,4 = 7,872 , m^2/s^2
Calculando v2 = raiz7,872 approx 2,805 , m/s :

Passo 7

Agora que temos a velocidade A = h2 times 1 , m = 0,05 , m times 1 , m = 0,05 , m^2 , podemos calcular a vazão Q = v2 times A = 2,805 , m/s times 0,05 , m^2 = 0,14025 , m^3/s , por metro de largura . A vazão é o produto da velocidade pela área da seção transversal. Como o problema pede por metro de largura, consideramos uma unidade de largura de 1 metro.
A área é:
Então, a vazão:

Passo 8

Para converter a vazão para pés cúbicos por segundo por pés de largura, usamos a seguinte relação:
1 , m = 3,28084 , ft
1 , m^3 = 35,3147 , ft^3
Primeiro, convertemos a vazão em 0,14025 , m^3/s times 35,3147 , ft^3/m^3 approx 4,945 , ft^3/s para 4,945 , ft^3/s3,28084 , ft approx 1,506 , ft^3/s , por pé de largura :
Como a largura é de 1 metro (3,28084 pés), a vazão por pés de largura é:
é

Resposta

A velocidade do escoamento a jusante da comporta é aproximadamente , e a vazão é por metro de largura ou por pé de largura.

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