Água escoa em regime permanente num bocal de 1 m de comprimento. O eixo de simetria do bocal está na vertical e a distribuição de velocidade neste eixo é dada por V / V0=(1+y / L) î m / sî. Admitindo que os efeitos viscosos são desprezíveis determine o gradiente de pressão necessário para produzir este escoamento (em função de y). Se a pressão na entrada do bocal vale 340 kPa determine a pressão na saída do bocal. Dados: rho=999 kg / m^3 ; V0=20 m / s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre água escoando de forma constante num bocal de 1 metro de comprimento. A velocidade da água varia ao longo do eixo do bocal e é dada pela fórmula m/s. Queremos descobrir qual é o gradiente de pressão necessário para gerar esse fluxo, considerando que a pressão na entrada do bocal é de 340 kPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente a equação de Bernoulli e a relação entre pressão e velocidade no escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de velocidade fornecida: . Aqui, m/s é a velocidade na entrada ( ) e m é o comprimento do bocal. Isso significa que a velocidade da água aumenta linearmente ao longo do comprimento do bocal.

Passo 3

Sabemos que, para escoamentos incompressíveis e sem efeitos viscosos (como foi o caso aqui), a equação de Bernoulli pode ser aplicada. A equação de Bernoulli relaciona a pressão, a velocidade e a altura em um fluxo constante:
P + 12 rho V^2 + rho g h = constante
Como o bocal está na vertical e não há variação de altura ( P + 12 rho V^2 = constante constante), podemos simplificar para:

Passo 4

Para encontrar o gradiente de pressão dPdy + rho V dVdy = 0 , vamos derivar a equação de Bernoulli em relação a dPdy = -rho V dVdy :
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, vamos calcular dVdy = V0L . A velocidade é dada por , então:

Passo 6

Substituindo dPdy = -rho V V0L na equação do gradiente de pressão:
dPdy = -rho V0^2 (1 + y / L)L
Como , substituímos:

Passo 7

Agora, integramos o gradiente de pressão para encontrar a pressão em função de P(y) = P0 - rho V0^2L (y + y^22L) . A integração de de 0 a nos dá:
Onde kPa é a pressão na entrada ( ).

Passo 8

Finalmente, para encontrar a pressão na saída do bocal ( P(L) = 340 , kPa - 999 , kg/m^3 times (20)^21 times (1 + 12) m):
P(L) = 340 , kPa - 999 times 400 times 1.5
Calculando:
P(L) = 340 , kPa - 599400 , Pa
599400 , Pa = 599.4 , kPa
Convertendo 599400 Pa para kPa:
P(L) = 340 , kPa - 599.4 , kPa = -259.4 , kPa
Então:

Resposta

A pressão na saída do bocal é de aproximadamente -259,4 kPa.

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