Ar escoa através de um tubo a uma vazão de 200 L / s. O tubo consiste em duas seções, uma de 22 cm de diâmetro e outra de 10 cm de diâmetro, com uma seção de redução suave (perda de carga desprezível) que as conecta. A diferença de pressão entre as duas seções do tubo é medida por um manômetro de coluna de água. Desprezando atrito, determine a altura diferencial ( h ) de água entre as duas seções da tubulação, em centímetros. Considere a densidade do ar como 1,0 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o fluxo de ar passando por um tubo dividido em duas partes com diâmetros diferentes (22 cm e 10 cm) e pede para descobrir a altura diferencial de água medida por um manômetro. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade e a equação de Bernoulli, para resolver isso. Precisaremos das fórmulas para conservação de massa e energia nos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a vazão volumétrica (Q) é constante em todo o tubo, ou seja, a quantidade de ar que entra em uma seção sai na outra sem se perder. A vazão é dada por:
Q = A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde:
  • A = pi ( d2 )^2 é a área da seção transversal,
  • A1 = pi ( 22, cm2 )^2 = pi (11, cm)^2 = 121pi, cm^2 é a velocidade do fluido.
Vamos calcular as áreas das duas seções do tubo. As áreas são de círculos, então usamos:
A2 = pi ( 10, cm2 )^2 = pi (5, cm)^2 = 25pi, cm^2
Para a seção 1 (22 cm de diâmetro):
Para a seção 2 (10 cm de diâmetro):

Passo 3

Agora, vamos usar a equação da continuidade para relacionar as velocidades nas duas seções. Sabemos que:
Q = A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Resolvendo para v2 = A1A2 cdot v1 :
v1 = QA1 = 200, cm^3/s121pi, cm^2 approx 200380,13 approx 0,526, cm/s
Mas primeiro, precisamos encontrar a velocidade em uma das seções. A vazão v2 = 121pi25pi cdot 0,526, cm/s = 12125 cdot 0,526 approx 4,84 cdot 0,526 approx 2,55, cm/s é dada como 200 L/s, que é igual a 200 cm³/s (já que 1 L = 1000 cm³, mas aqui estamos usando cm² e cm, então mantemos em cm³/s para consistência).
Vamos expressar a velocidade na seção 1:
Então, a velocidade na seção 2 será:

Passo 4

Agora que temos as velocidades nas duas seções, vamos aplicar a equação de Bernoulli, que nos ajuda a relacionar as pressões e velocidades em dois pontos diferentes de um fluido em escoamento. A equação simplificada, sem atrito, é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Como estamos comparando duas seções na mesma altura (não há diferença de elevação, então P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2 ), a equação fica:
De
Rearranjando para encontrar a diferença de pressão :

Passo 5

A diferença de pressão De é o que faz o manômetro medir uma coluna de água com altura rhoágua cdot g cdot h = 12 rhoar (v2^2 - v1^2) . A pressão devido a essa coluna é dada por:
h = 12 rhoar (v2^2 - v1^2)rhoágua cdot g á
Onde:
  • á é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura da coluna de água.
Igualando as duas expressões para :
á
Resolvendo para :
á

Passo 6

Vamos agora substituir os valores na fórmula. Primeiramente, precisamos converter as velocidades de cm/s para m/s para manter as unidades consistentes.
v1 = 0,526, cm/s = 0,00526, m/s
v2 = 2,55, cm/s = 0,0255, m/s
Agora, substituímos na fórmula:
h = 0,5 cdot 1,0, kg/m^3 cdot (0,0255^2 - 0,00526^2)1000, kg/m^3 cdot 9,81, m/s^2
Calculando os quadrados das velocidades:
0,0255^2 = 0,00065025, m^2/s^2
0,00526^2 = 0,00002766, m^2/s^2
Subtraindo:
0,00065025 - 0,00002766 = 0,00062259, m^2/s^2
Agora, calculamos h = 0,5 cdot 1,0 cdot 0,000622591000 cdot 9,81 = 0,0003112959810 approx 3,17 times 10^-8, m :
h approx 3,17 times 10^-8, m times 100, cm/m approx 3,17 times 10^-6, cm
Convertendo para centímetros:

Resposta

A altura diferencial de água entre as duas seções da tubulação é aproximadamente centímetros.

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