Ar escoa através de um tubo a uma vazão de
. O tubo consiste em duas seções, uma de 22 cm de diâmetro e outra de 10 cm de diâmetro, com uma seção de redução suave (perda de carga desprezível) que as conecta. A diferença de pressão entre as duas seções do tubo é medida por um manômetro de coluna de água. Desprezando atrito, determine a altura diferencial (
) de água entre as duas seções da tubulação, em centímetros. Considere a densidade do ar como
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o fluxo de ar passando por um tubo dividido em duas partes com diâmetros diferentes (22 cm e 10 cm) e pede para descobrir a altura diferencial de água medida por um manômetro. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade e a equação de Bernoulli, para resolver isso. Precisaremos das fórmulas para conservação de massa e energia nos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a vazão volumétrica (Q) é constante em todo o tubo, ou seja, a quantidade de ar que entra em uma seção sai na outra sem se perder. A vazão é dada por:
Onde:
-
é a área da seção transversal, -
é a velocidade do fluido.
Vamos calcular as áreas das duas seções do tubo. As áreas são de círculos, então usamos:
Para a seção 1 (22 cm de diâmetro):
Para a seção 2 (10 cm de diâmetro):
Passo 3
Agora, vamos usar a equação da continuidade para relacionar as velocidades nas duas seções. Sabemos que:
Resolvendo para
:
Mas primeiro, precisamos encontrar a velocidade em uma das seções. A vazão
é dada como 200 L/s, que é igual a 200 cm³/s (já que 1 L = 1000 cm³, mas aqui estamos usando cm² e cm, então mantemos em cm³/s para consistência).
Vamos expressar a velocidade na seção 1:
Então, a velocidade na seção 2 será:
Passo 4
Agora que temos as velocidades nas duas seções, vamos aplicar a equação de Bernoulli, que nos ajuda a relacionar as pressões e velocidades em dois pontos diferentes de um fluido em escoamento. A equação simplificada, sem atrito, é:
Como estamos comparando duas seções na mesma altura (não há diferença de elevação, então
), a equação fica:
Rearranjando para encontrar a diferença de pressão
:
Passo 5
A diferença de pressão
é o que faz o manômetro medir uma coluna de água com altura
. A pressão devido a essa coluna é dada por:
Onde:
-
é a densidade da água (aproximadamente ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura da coluna de água.
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Vamos agora substituir os valores na fórmula. Primeiramente, precisamos converter as velocidades de cm/s para m/s para manter as unidades consistentes.
Agora, substituímos na fórmula:
Calculando os quadrados das velocidades:
Subtraindo:
Agora, calculamos
:
Convertendo para centímetros:
Resposta
A altura diferencial de água
entre as duas seções da tubulação é aproximadamente
centímetros.
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.
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a) desprezando as perdas de carga localizadas na entrada e na saída da tubulação;
b) considerando tais perdas de carga localizadas, adotando os seguintes coeficientes de perdas e
.
; (b)
a) desprezando as perdas de carga localizadas na entrada e na saída da tubulação;
b) considerando tais perdas de carga localizadas, adotando os seguintes coeficientes de perdas