O nível da água em um tanque é de 20 m acima do solo. Uma mangueira está conectada à parle inferior do tanque, e o bocal no final da mangueira aponta diretamente para cima. A tampa do tanque é hermética e a pressão manométrica do ar acima da superfície da água é de 2 atm. O sistema está no nível do mar. Determine a altura máxima até a qual a corrente de água pode chegar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque de água com o nível da água a 20 metros acima do chão. Tem uma mangueira conectada na parte de baixo do tanque, e o bocal da mangueira está apontando pra cima. A tampa do tanque é hermética, ou seja, não deixa o ar entrar ou sair, e a pressão manométrica do ar acima da água é de 2 atm. O sistema tá no nível do mar. Nosso objetivo é descobrir qual é a altura máxima que a água pode alcançar saindo dessa mangueira. Para resolver isso, vamos usar princípios de hidrostática e dinâmica dos fluidos, principalmente a equação de Bernoulli e conceitos de energia cinética e potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Altura da água no tanque,
  • Pressão manométrica do ar acima da água,
  • Pressão atmosférica no nível do mar,
  • Aceleração da gravidade,
  • Densidade da água,

Passo 3

Agora, vamos entender a pressão dentro do tanque. A pressão total no topo da água no tanque é a soma da pressão manométrica e a pressão atmosférica. Então:
Ptotal = Patm + Pman = 1 , atm + 2 , atm = 3 , atm
Convertendo para pascais (já que Ptotal = 3 times 101325 , Pa = 303975 , Pa ):

Passo 4

Vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos diferentes de um fluido em escoamento. A equação de Bernoulli simplificada para nossa situação (considerando que a velocidade da água no tanque é quase zero) fica assim:
Ptotal + rho g h = 12 rho v^2
Onde:
  • é a pressão total no topo da água.
  • é a densidade da água.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é a altura da coluna de água.
  • é a velocidade da água saindo da mangueira.

Passo 5

Vamos resolver a equação de Bernoulli para encontrar a velocidade 303975 , Pa + 1000 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 times 20 , m = 12 times 1000 , kg/m^3 times v^2 :
1000 times 9,81 times 20 = 196200 , Pa
Calculando o termo 303975 + 196200 = 500175 , Pa :
500175 = 12 times 1000 times v^2 500175 = 500 times v^2 v^2 = 500175500 = 1000,35 v = raiz1000,35 approx 31,62 , m/s
Somando com :
Agora, isolando :

Passo 6

Para encontrar a altura máxima que a água pode atingir, vamos usar a equação da energia cinética convertida em energia potencial:
12 rho v^2 = rho g hmáx á
Isolando hmáx = v^22g = (31,62)^22 times 9,81 approx 100019,62 approx 50,96 , m á:
á

Resposta

A altura máxima que a corrente de água pode alcançar é de aproximadamente 51 metros.

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