Água escoa em regime permanente em um tubo de ferro fundido de 125 mm de diâmetro e comprimento de 150 m . A queda de pressão entre as seções (1) e (2) é de 150 kPa , e a seçã (2) estão 15 m acima da seção (1). Determine a vazão volumétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre água escoando de forma constante em um tubo de ferro fundido com algumas características específicas. A gente precisa encontrar a vazão volumétrica, que é quanto de água passa pelo tubo em determinado tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, principalmente a equação de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga com a vazão.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Diâmetro do tubo,
  • Comprimento do tubo,
  • Queda de pressão entre as seções,
  • Diferença de altura,
  • Aceleração da gravidade,
  • Densidade da água, (valor padrão)

Passo 3

Vamos lembrar que a perda de carga total ( De) tem duas partes: a perda por atrito no tubo e a perda de energia devido à diferença de altura. A equação que relaciona essas perdas com a vazão é:
Onde:
  • é o fator de atrito de Darcy-Weisbach
  • é a velocidade da água

Passo 4

A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar uma relação entre a velocidade ( Q = v cdot A ) e a vazão volumétrica ( A = pi d^24 = pi (0,125)^24 approx 0,01227 , m^2 ). Sabemos que:
v = QA = Q0,01227
Onde é a área da seção transversal do tubo. Calculando :
Então,

Passo 5

Agora, precisamos do fator de atrito f = 0,316 cdot Re^-0,25 . Para tubos de ferro fundido e fluxo turbulento, podemos usar uma estimativa inicial. Supondo fluxo turbulento, podemos usar a fórmula de Darcy:
Re = rho v dmu
Onde é o número de Reynolds:
Assumindo que a viscosidade da água .

Passo 6

Vamos substituir Re = 1000 cdot Q0,01227 cdot 0,1251 times 10^-3 = 1000 cdot Q cdot 0,1250,01227 times 10^-3 approx 10,2 times 10^6 cdot Q em termos de na expressão do número de Reynolds:

Passo 7

Substituindo f = 0,316 cdot (10,2 times 10^6 cdot Q)^-0,25 = 0,316 cdot (10,2 times 10^6)^-0,25 cdot Q^-0,25 na fórmula de f approx 0,316 cdot 0,013 cdot Q^-0,25 approx 0,00412 cdot Q^-0,25 :
Calculando , então:

Passo 8

Agora, substituímos 150 times 10^3 = 0,00412 cdot Q^-0,25 cdot ( 1500,125 ) cdot ( 1000 cdot ( Q0,01227 )^22 ) + 1000 cdot 9,81 cdot 15 e 150 times 10^3 = 0,00412 cdot Q^-0,25 cdot 1200 cdot ( Q^20,1493 ) + 147150 na equação da perda de carga:
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo a equação:
150 times 10^3 - 147150 = 0,00412 cdot Q^-0,25 cdot 1200 cdot ( Q^20,1493 )
2850 = 0,00412 cdot Q^-0,25 cdot 1200 cdot 6,7 Q^2
2850 = 0,00412 cdot 1200 cdot 6,7 cdot Q^1,75
2850 = 33,1 cdot Q^1,75
Q^1,75 = 285033,1 approx 86,03

Passo 10

Agora, resolvemos para Q = (86,03)^11,75 approx 6 , m^3/s :

Resposta

A vazão volumétrica é aproximadamente .

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