Uma furadeira a ar comprimido requer 0,25 kg / s de ar a 650 kPa (manométrica) na broca. A mangueira que conduz ar do compressor até a furadeira tem 40 mm de diâmetro interno. A pressão manométrica máxima na descarga do compressor é 670 kPa ; o ar deixa o compressor a 40^circ C. Despreze variações na massa específica e quaisquer efeitos decorrentes da curvatura da mangueira. Calcule o comprimento máximo de mangueira que pode ser usado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa descobrir o comprimento máximo da mangueira que pode ser usada para a furadeira a ar comprimido. O que temos aqui envolve conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente o fluxo de ar em tubulações. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de perda de carga que nos ajuda a calcular a queda de pressão ao longo da mangueira devido ao atrito do ar com as paredes da mangueira.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Taxa de fluxo de massa ( dotm): 0,25 , kg/s
  • Pressão na furadeira ( p2): 650 , kPa (pressão manométrica)
  • Diâmetro interno da mangueira ( D): 40 , mm = 0,04 , m
  • Pressão máxima na saída do compressor ( p1): 670 , kPa (pressão manométrica)
  • Temperatura do ar ( T): 40^circ C = 313 , K

Passo 3

Vamos considerar que a massa específica do ar ( rho) permanece constante, já que estamos desprezando variações na massa específica. Para encontrar rho, usamos a equação dos gases ideais:
rho = pR cdot T
Onde:
  • p é a pressão absoluta,
  • R é a constante específica do ar ( R = 287 , J/(kg·K)),
  • T é a temperatura absoluta.
Mas primeiro, precisamos converter as pressões manométricas para pressões absolutas. Pressão absoluta ( Pabs) é a soma da pressão manométrica com a pressão atmosférica ( Patm). Vamos supor que a pressão atmosférica seja 101 , kPa.
Então:
  • P1abs = 670 , kPa + 101 , kPa = 771 , kPa
  • P2abs = 650 , kPa + 101 , kPa = 751 , kPa

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade do ar na saída do compressor ( rho1):
rho1 = P1absR cdot T = 771 times 10^3 , Pa287 , J/(kg·K) times 313 , K approx 77100089931 approx 8,58 , kg/m^3

Passo 5

Em seguida, calculamos a velocidade do ar na mangueira ( v). Para isso, usamos a relação entre taxa de fluxo de massa, densidade e área da seção transversal:
dotm = rho cdot A cdot v
Onde A é a área da seção transversal da mangueira:
A = pi D^24 = pi (0,04)^24 approx 0,00126 , m^2
Resolvendo para v:
v = dotmrho cdot A = 0,258,58 times 0,00126 approx 0,250,01083 approx 23,06 , m/s

Passo 6

Agora, vamos calcular a queda de pressão permitida na mangueira ( De):
De

Passo 7

Para relacionar a queda de pressão, velocidade e comprimento da mangueira, usamos a equação de Darcy-Weisbach:
De
Onde:
  • f é o fator de atrito,
  • L é o comprimento da mangueira que queremos encontrar.
Assumindo fluxo laminar (o que pode não ser o caso, mas sem dados adicionais, vamos seguir essa suposição simplificada), o fator de atrito f pode ser calculado usando a fórmula de Hagen-Poiseuille para escoamentos laminares:
f = 64Re
Onde Re é o número de Reynolds, que determina se o fluxo é laminar ou turbulento.

Passo 8

Calculamos o número de Reynolds ( Re):
Re = rho v Dmu
Onde mu é a viscosidade dinâmica do ar. Para o ar a 313 , K, mu approx 1,85 times 10^-5 , Pa·s.
Então:
Re = 8,58 times 23,06 times 0,041,85 times 10^-5 approx 7,9061,85 times 10^-5 approx 427081
Como Re > 4000, o fluxo é turbulento, então usamos uma estimativa para f. Para fluxo turbulento em tubos lisos, uma aproximação comum é f approx 0,02.

Passo 9

Agora, rearranjamos a equação de Darcy-Weisbach para resolver L:
L = De
Substituindo os valores:
L = 20000 , Pa times 0,04 , m0,02 times 8,58 times (23,06)^22
Calculando o denominador:
0,02 times 8,58 times 530,362 = 0,02 times 4548,132 = 0,02 times 2274,07 approx 45,48
Então:
L = 80045,48 approx 17,6 , m

Resposta

O comprimento máximo da mangueira que pode ser usada é de aproximadamente 17,6 metros.

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