Uma furadeira a ar comprimido requer
de ar a 650 kPa (manométrica) na broca. A mangueira que conduz ar do compressor até a furadeira tem 40 mm de diâmetro interno. A pressão manométrica máxima na descarga do compressor é 670 kPa ; o ar deixa o compressor a
. Despreze variações na massa específica e quaisquer efeitos decorrentes da curvatura da mangueira. Calcule o comprimento máximo de mangueira que pode ser usado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa descobrir o comprimento máximo da mangueira que pode ser usada para a furadeira a ar comprimido. O que temos aqui envolve conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente o fluxo de ar em tubulações. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de perda de carga que nos ajuda a calcular a queda de pressão ao longo da mangueira devido ao atrito do ar com as paredes da mangueira.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Taxa de fluxo de massa (
): - Pressão na furadeira (
): (pressão manométrica) - Diâmetro interno da mangueira (
): = - Pressão máxima na saída do compressor (
): (pressão manométrica) - Temperatura do ar (
): =
Passo 3
Vamos considerar que a massa específica do ar (
) permanece constante, já que estamos desprezando variações na massa específica. Para encontrar
, usamos a equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a pressão absoluta, -
é a constante específica do ar ( ), -
é a temperatura absoluta.
Mas primeiro, precisamos converter as pressões manométricas para pressões absolutas. Pressão absoluta (
) é a soma da pressão manométrica com a pressão atmosférica (
). Vamos supor que a pressão atmosférica seja
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade do ar na saída do compressor (
):
Passo 5
Em seguida, calculamos a velocidade do ar na mangueira (
). Para isso, usamos a relação entre taxa de fluxo de massa, densidade e área da seção transversal:
Onde
é a área da seção transversal da mangueira:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a queda de pressão permitida na mangueira (
):
Passo 7
Para relacionar a queda de pressão, velocidade e comprimento da mangueira, usamos a equação de Darcy-Weisbach:
Onde:
-
é o fator de atrito, -
é o comprimento da mangueira que queremos encontrar.
Assumindo fluxo laminar (o que pode não ser o caso, mas sem dados adicionais, vamos seguir essa suposição simplificada), o fator de atrito
pode ser calculado usando a fórmula de Hagen-Poiseuille para escoamentos laminares:
Onde
é o número de Reynolds, que determina se o fluxo é laminar ou turbulento.
Passo 8
Calculamos o número de Reynolds (
):
Onde
é a viscosidade dinâmica do ar. Para o ar a
,
.
Então:
Como
, o fluxo é turbulento, então usamos uma estimativa para
. Para fluxo turbulento em tubos lisos, uma aproximação comum é
.
Passo 9
Agora, rearranjamos a equação de Darcy-Weisbach para resolver
:
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:
Resposta
O comprimento máximo da mangueira que pode ser usada é de aproximadamente 17,6 metros.
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