Uma furadeira a ar comprimido requer de ar a 650 kPa (manométrica) na broca. A mangueira que conduz ar do compressor até a furadeira tem 40 mm de diâmetro interno. A pressão manométrica máxima na descarga do compressor é 670 kPa ; o ar deixa o compressor a . Despreze variações na massa específica e quaisquer efeitos decorrentes da curvatura da mangueira. Calcule o comprimento máximo de mangueira que pode ser usado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa descobrir o comprimento máximo da mangueira que pode ser usada para a furadeira a ar comprimido. O que temos aqui envolve conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente o fluxo de ar em tubulações. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de perda de carga que nos ajuda a calcular a queda de pressão ao longo da mangueira devido ao atrito do ar com as paredes da mangueira.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Taxa de fluxo de massa ( ):
  • Pressão na furadeira ( ): (pressão manométrica)
  • Diâmetro interno da mangueira ( ): =
  • Pressão máxima na saída do compressor ( ): (pressão manométrica)
  • Temperatura do ar ( ): =

Passo 3

Vamos considerar que a massa específica do ar ( ) permanece constante, já que estamos desprezando variações na massa específica. Para encontrar , usamos a equação dos gases ideais:
Onde:
  • é a pressão absoluta,
  • é a constante específica do ar ( ),
  • é a temperatura absoluta.
Mas primeiro, precisamos converter as pressões manométricas para pressões absolutas. Pressão absoluta ( ) é a soma da pressão manométrica com a pressão atmosférica ( ). Vamos supor que a pressão atmosférica seja .
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade do ar na saída do compressor ( ):

Passo 5

Em seguida, calculamos a velocidade do ar na mangueira ( ). Para isso, usamos a relação entre taxa de fluxo de massa, densidade e área da seção transversal:
Onde é a área da seção transversal da mangueira:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos calcular a queda de pressão permitida na mangueira ( ):

Passo 7

Para relacionar a queda de pressão, velocidade e comprimento da mangueira, usamos a equação de Darcy-Weisbach:
Onde:
  • é o fator de atrito,
  • é o comprimento da mangueira que queremos encontrar.
Assumindo fluxo laminar (o que pode não ser o caso, mas sem dados adicionais, vamos seguir essa suposição simplificada), o fator de atrito pode ser calculado usando a fórmula de Hagen-Poiseuille para escoamentos laminares:
Onde é o número de Reynolds, que determina se o fluxo é laminar ou turbulento.

Passo 8

Calculamos o número de Reynolds ( ):
Onde é a viscosidade dinâmica do ar. Para o ar a , .
Então:
Como , o fluxo é turbulento, então usamos uma estimativa para . Para fluxo turbulento em tubos lisos, uma aproximação comum é .

Passo 9

Agora, rearranjamos a equação de Darcy-Weisbach para resolver :
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:

Resposta

O comprimento máximo da mangueira que pode ser usada é de aproximadamente 17,6 metros.

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