Água escoa no tubo com velocidade
. Determine:
(a) o gradiente de pressão necessário para produzir este escoamento em função de x.
(a) o gradiente de pressão necessário para produzir este escoamento em função de x.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de escoamento de água num tubo. A velocidade do escoamento é dada por $ v = 10(1 + x) $ metros por segundo. O que precisamos descobrir é qual o gradiente de pressão necessário para que essa água flua dessa maneira, ou seja, em função de $ x $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre como a pressão varia ao longo de um tubo e como isso está relacionado à velocidade do escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o gradiente de pressão ($ \frac{dp}{dx} $) é a variação da pressão ao longo do comprimento do tubo. Ele é responsável por empurrar a água para frente, mantendo o escoamento.
Passo 3
A relação entre o gradiente de pressão e a velocidade do escoamento pode ser derivada da equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar em um tubo. Essa relação é dada por:
Onde:
- $ \mu $ é a viscosidade dinâmica da água.
- $ \frac{d^2 v}{dx^2} $ é a segunda derivada da velocidade em relação a $ x $.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a segunda derivada da velocidade $ v $ em relação a $ x $. A função dada é:
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Em seguida, a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo a segunda derivada na equação do gradiente de pressão:
Isso significa que, para essa função de velocidade específica, o gradiente de pressão necessário é zero.
Resposta
O gradiente de pressão necessário para produzir o escoamento é $ \frac{dp}{dx} = 0 $.