Água escoa no tubo com velocidade v=10(1+x) m / s. Determine:
(a) o gradiente de pressão necessário para produzir este escoamento em função de x.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de escoamento de água num tubo. A velocidade do escoamento é dada por $ v = 10(1 + x) $ metros por segundo. O que precisamos descobrir é qual o gradiente de pressão necessário para que essa água flua dessa maneira, ou seja, em função de $ x $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre como a pressão varia ao longo de um tubo e como isso está relacionado à velocidade do escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o gradiente de pressão ($ \frac{dp}{dx} $) é a variação da pressão ao longo do comprimento do tubo. Ele é responsável por empurrar a água para frente, mantendo o escoamento.

Passo 3

A relação entre o gradiente de pressão e a velocidade do escoamento pode ser derivada da equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar em um tubo. Essa relação é dada por:
dpdx = mu d^2 vdx^2
Onde:
  • $ \mu $ é a viscosidade dinâmica da água.
  • $ \frac{d^2 v}{dx^2} $ é a segunda derivada da velocidade em relação a $ x $.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a segunda derivada da velocidade $ v $ em relação a $ x $. A função dada é:
v
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
x
Em seguida, a segunda derivada:
v = 10(1 + x)

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na equação do gradiente de pressão:
dpdx = mu times 0 = 0
Isso significa que, para essa função de velocidade específica, o gradiente de pressão necessário é zero.

Resposta

O gradiente de pressão necessário para produzir o escoamento é $ \frac{dp}{dx} = 0 $.

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