As faces de uma folha de papel de dimensões , contendo inicialmente de água kg de papel seco (ou em base seca), foram submetidas a secagem durante 20 min . Sabendo que a umidade média adimensional, em base seca, após esse período é que então estime o valor do coeficiente efetivo de difusão, em cm²/s.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma folha de papel com dimensões que inicialmente contém de água. Essa folha foi submetida à secagem por 20 minutos, e após esse tempo, a umidade média adimensional em base seca é . Além disso, foi dado o número de Biot para massa, . Queremos estimar o coeficiente efetivo de difusão, , em .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transferência de massa, especificamente a difusão de umidade no papel durante a secagem. Vamos usar a relação entre o número de Biot, o coeficiente de difusão e outras dimensões do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Número de Biot para massa, . Esse número relaciona a transferência de massa na superfície do material com a difusão de massa dentro do material. A fórmula é:
Onde:
é o coeficiente de transferência de massa na superfície ()
é o comprimento característico do material ()
é o coeficiente efetivo de difusão ()
Queremos encontrar , então precisamos reorganizar essa equação. Mas primeiro, precisamos determinar o comprimento característico .
Passo 3
O comprimento característico geralmente é associado à dimensão mais significativa do material. No caso da folha de papel, podemos considerar a espessura como o comprimento característico, já que a difusão de umidade ocorre principalmente através da espessura.
Então:
Agora, precisamos encontrar o coeficiente de transferência de massa . Para isso, podemos relacionar com a umidade adimensional usando a teoria de difusão.
Passo 4
A umidade adimensional após um tempo está relacionada com o Número de Biot e o tempo adimensional. Uma aproximação comum para materiais homogêneos e isotrópicos é usar a solução de difusão para camadas finas.
Podemos usar a seguinte relação:
Onde é o tempo adimensional. No entanto, essa equação pode ser complexa para resolver diretamente. Uma alternativa é usar uma relação simplificada para pequenos valores de , mas como é moderado, podemos assumir que a transferência de massa está em regime limite.
Passo 5
Considerando que é menor que 1, podemos usar a aproximação de que a transferência de massa limitada pela difusão interna domina. Assim, podemos reescrever a equação do Número de Biot:
Para encontrar , precisamos relacioná-lo com a umidade média e o tempo de secagem.
A partir da solução da equação de difusão para uma camada fina, a relação entre , e pode ser expressa como: