As faces de uma folha de papel de dimensões (25 times 10 times 0,07) cm^3, contendo inicialmente 0,28 kg de água kg de papel seco (ou 28 % em base seca), foram submetidas a secagem durante 20 min . Sabendo que a umidade média adimensional, em base seca, após esse período é bartheta=0,04 e que BiM=0,67 então estime o valor do coeficiente efetivo de difusão, em cm²/s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma folha de papel com dimensões que inicialmente contém de água. Essa folha foi submetida à secagem por 20 minutos, e após esse tempo, a umidade média adimensional em base seca é . Além disso, foi dado o número de Biot para massa, . Queremos estimar o coeficiente efetivo de difusão, , em .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transferência de massa, especificamente a difusão de umidade no papel durante a secagem. Vamos usar a relação entre o número de Biot, o coeficiente de difusão e outras dimensões do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Número de Biot para massa, BiM = hm cdot LcDeff . Esse número relaciona a transferência de massa na superfície do material com a difusão de massa dentro do material. A fórmula é:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de massa na superfície ( )
  • é o comprimento característico do material ( )
  • é o coeficiente efetivo de difusão ( )
Queremos encontrar , então precisamos reorganizar essa equação. Mas primeiro, precisamos determinar o comprimento característico .

Passo 3

O comprimento característico Lc = 0,07 , cm geralmente é associado à dimensão mais significativa do material. No caso da folha de papel, podemos considerar a espessura como o comprimento característico, já que a difusão de umidade ocorre principalmente através da espessura.
Então:
Agora, precisamos encontrar o coeficiente de transferência de massa . Para isso, podemos relacionar com a umidade adimensional usando a teoria de difusão.

Passo 4

A umidade adimensional bartheta = 1 - 6BiM ( 1 - 1raiz1 + BiM t^* ) após um tempo está relacionada com o Número de Biot e o tempo adimensional. Uma aproximação comum para materiais homogêneos e isotrópicos é usar a solução de difusão para camadas finas.
Podemos usar a seguinte relação:
Onde é o tempo adimensional. No entanto, essa equação pode ser complexa para resolver diretamente. Uma alternativa é usar uma relação simplificada para pequenos valores de , mas como é moderado, podemos assumir que a transferência de massa está em regime limite.

Passo 5

Considerando que BiM = hm cdot LcDeff é menor que 1, podemos usar a aproximação de que a transferência de massa limitada pela difusão interna domina. Assim, podemos reescrever a equação do Número de Biot:
bartheta = 6BiM ( 1 - 1raiz1 + BiM t^* )
Para encontrar , precisamos relacioná-lo com a umidade média e o tempo de secagem.
A partir da solução da equação de difusão para uma camada fina, a relação entre , e pode ser expressa como:
Onde é o tempo adimensional.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver bartheta = 6BiM ( 1 - 1raiz1 + BiM t^* ) :
Primeiro, isole BiM bartheta6 = 1 - 1raiz1 + BiM t^* :
1raiz1 + BiM t^* = 1 - BiM bartheta6
Multiplicando ambos os lados por 11 + BiM t^* = (1 - BiM bartheta6)^2 :
1 + BiM t^* = 1(1 - BiM bartheta6)^2
Isolando o termo com BiM t^* = 1(1 - BiM bartheta6)^2 - 1 :
BiM ( Deff tLc^2 ) = 1(1 - BiM bartheta6)^2 - 1
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Invertendo ambos os lados:
Subtraindo 1:
Agora, podemos substituir :

Passo 7

Finalmente, isolamos Deff = Lc^2BiM t ( 1(1 - BiM bartheta6)^2 - 1 ) :
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:

Passo 8

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule o termo dentro dos parênteses:
1 - BiM bartheta6 = 1 - 0,67 times 0,046 = 1 - 0,02686 approx 1 - 0,004467 = 0,995533
Agora, eleve ao quadrado:
(0,995533)^2 approx 0,9911
Então:
10,9911 - 1 approx 1,00896 - 1 = 0,00896
Agora, substitua na fórmula de Deff = (0,07)^20,67 times 1200 times 0,00896 :
(0,07)^2 = 0,0049 , cm^2
Calculando o numerador:
0,67 times 1200 = 804
E o denominador:
Deff = 0,0049804 times 0,00896 approx 6,10 times 10^-6 times 0,00896 approx 5,47 times 10^-8 , cm^2/s
Então:

Resposta

O coeficiente efetivo de difusão é aproximadamente .

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