Um tanque de aço ( k=40 Kcal / h m oC ), de formato esférico e raio interno de 0,5 m e espessura de 5 mm , é isolado com 1 12 de lã de rocha ( k=0,04 Kcal / h m OC ). A temperatura da face interna do tanque é 220 oC e a da face externa do isolante é 30 oC. Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de 1 12 de espessura, tendo sido notado então um aumento de 10% no calor perdido para o ambiente ( mantiveram-se as demais condições ). Determinar:
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um tanque esférico de aço com algumas características específicas e está isolado com lã de rocha. A temperatura na parte interna do tanque é de 220°C, e na parte externa do isolante é de 30°C. Depois de alguns anos, a lã de rocha foi trocada por outro isolante, e notamos que a perda de calor aumentou 10%. A gente precisa descobrir qual é a condutividade térmica desse novo isolante.
Vamos precisar entender um pouco sobre transferência de calor por condução e como ela funciona em superfícies esféricas. Também vamos usar a fórmula de condução de calor para esferas e relacionar as mudanças na perda de calor com a condutividade térmica do novo isolante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da condução de calor para uma esfera. A taxa de transferência de calor $ Q $ através de uma casca esférica é dada por:
Q
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica do material isolante.
  • $ T_i $ é a temperatura interna.
  • $ T_e $ é a temperatura externa.
  • $ r_i $ é o raio interno da esfera.
  • $ r_e $ é o raio externo da esfera.
No nosso caso, temos que a espessura do isolante é de $ 1 \frac{1}{2} $ (acho que significa 1,5 m), mas precisamos verificar as unidades e ajustar conforme necessário.

Passo 3

Vamos começar calculando a perda de calor com a lã de rocha original. Os dados que temos são:
  • Condutividade térmica da lã de rocha: $ k_1 = 0,04 , Kcal/h \cdot m \cdot °C $
  • Espessura do isolante: $ \Delta r = 1,5 , m $
  • Raio interno do tanque: $ r_i = 0,5 , m $
  • Raio externo do isolante: $ r_e = r_i + \Delta r = 0,5 + 1,5 = 2,0 , m $
  • Temperaturas: $ T_i = 220 , °C $, $ T_e = 30 , °C $
Agora, aplicando a fórmula:
k1 = 0,04 , Kcal/h cdot m cdot °C
Vamos calcular o denominador primeiro:
De
Então:
ri = 0,5 , m
Calculando isso:
re = ri + De

Passo 4

Agora, quando trocamos a lã de rocha pelo novo isolante, a perda de calor aumentou 10%. Então, a nova perda de calor $ Q_2 $ é:
Q2
Queremos encontrar a nova condutividade térmica $ k_2 $ que resulta nessa nova perda de calor.

Passo 5

Usando a mesma fórmula de condução de calor para a nova situação:
Q2 = 4 pi k2 (Ti - Te)1ri - 1re
Sabemos que:
70 = 4 pi k2 times 1901,5
Vamos isolar $ k_2 $:
k2
Calculando os valores:
k2 = 70 times 1,54 pi times 190

Resposta

O coeficiente de condutividade térmica do novo isolante é aproximadamente $ 0,044 , Kcal/h \cdot m \cdot °C $.

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