Um tanque de aço (
), de formato esférico e raio interno de 0,5 m e espessura de 5 mm , é isolado com
de lã de rocha (
). A temperatura da face interna do tanque é 220 oC e a da face externa do isolante é 30 oC. Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de
de espessura, tendo sido notado então um aumento de 10% no calor perdido para o ambiente ( mantiveram-se as demais condições ). Determinar:
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um tanque esférico de aço com algumas características específicas e está isolado com lã de rocha. A temperatura na parte interna do tanque é de 220°C, e na parte externa do isolante é de 30°C. Depois de alguns anos, a lã de rocha foi trocada por outro isolante, e notamos que a perda de calor aumentou 10%. A gente precisa descobrir qual é a condutividade térmica desse novo isolante.
Vamos precisar entender um pouco sobre transferência de calor por condução e como ela funciona em superfícies esféricas. Também vamos usar a fórmula de condução de calor para esferas e relacionar as mudanças na perda de calor com a condutividade térmica do novo isolante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da condução de calor para uma esfera. A taxa de transferência de calor $ Q $ através de uma casca esférica é dada por:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica do material isolante.
- $ T_i $ é a temperatura interna.
- $ T_e $ é a temperatura externa.
- $ r_i $ é o raio interno da esfera.
- $ r_e $ é o raio externo da esfera.
No nosso caso, temos que a espessura do isolante é de $ 1 \frac{1}{2} $ (acho que significa 1,5 m), mas precisamos verificar as unidades e ajustar conforme necessário.
Passo 3
Vamos começar calculando a perda de calor com a lã de rocha original. Os dados que temos são:
- Condutividade térmica da lã de rocha: $ k_1 = 0,04 , Kcal/h \cdot m \cdot °C $
- Espessura do isolante: $ \Delta r = 1,5 , m $
- Raio interno do tanque: $ r_i = 0,5 , m $
- Raio externo do isolante: $ r_e = r_i + \Delta r = 0,5 + 1,5 = 2,0 , m $
- Temperaturas: $ T_i = 220 , °C $, $ T_e = 30 , °C $
Agora, aplicando a fórmula:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Então:
Calculando isso:
Passo 4
Agora, quando trocamos a lã de rocha pelo novo isolante, a perda de calor aumentou 10%. Então, a nova perda de calor $ Q_2 $ é:
Queremos encontrar a nova condutividade térmica $ k_2 $ que resulta nessa nova perda de calor.
Passo 5
Usando a mesma fórmula de condução de calor para a nova situação:
Sabemos que:
Vamos isolar $ k_2 $:
Calculando os valores:
Resposta
O coeficiente de condutividade térmica do novo isolante é aproximadamente $ 0,044 , Kcal/h \cdot m \cdot °C $.