Uma tubulação de 200 mm de diâmetro, 4000 m de comprimento e coeficiente de perda de carga da fórmula Universal (f) igual a 0,020 conduz água entre dois reservatórios cuja diferença de nível é 40 m .
Desejando-se aumentar em 20 l/s a vazão transportada, optou-se pela colocação de um trecho de tubulação, com as mesmas características da anterior, inclusive o comprimento, em paralelo com a existente. Determinar a extensão desse trecho. [
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Desejando-se aumentar em 20 l/s a vazão transportada, optou-se pela colocação de um trecho de tubulação, com as mesmas características da anterior, inclusive o comprimento, em paralelo com a existente. Determinar a extensão desse trecho. [
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de hidráulica onde uma tubulação de 200 mm de diâmetro, com 4000 metros de comprimento e um coeficiente de perda de carga de $ f = 0,020 $, está transportando água entre dois reservatórios com uma diferença de nível de 40 metros. A missão aqui é aumentar a vazão em 20 litros por segundo adicionando outra tubulação igual em paralelo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a perda de carga funciona em tubulações e como a adição de um trecho paralelo afeta a vazão total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a perda de carga em uma tubulação pode ser calculada usando a fórmula de Darcy-Weisbach:
Onde:
- $ \Delta h $ é a perda de carga (40 m),
- $ f $ é o coeficiente de perda de carga (0,020),
- $ L $ é o comprimento da tubulação (4000 m),
- $ D $ é o diâmetro da tubulação (0,2 m, já que 200 mm),
- $ V $ é a velocidade da água,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aprox. 9,81 m/s²).
Nosso objetivo é aumentar a vazão em 20 L/s, ou seja, $ \Delta Q = 20 , L/s = 0,020 , m^3/s $. Para isso, vamos adicionar um trecho paralelo que vai dividir a carga da vazão total.
Passo 3
Vamos achar a vazão atual $ Q $ na tubulação existente. Sabemos que a perda de carga é mantida em 40 m, então podemos rearranjar a fórmula para encontrar a velocidade $ V $:
Substituindo os valores:
Agora, a vazão $ Q $ é:
Passo 4
Queremos aumentar a vazão em 20 L/s, então a nova vazão total $ Q_{total} $ será:
Com a adição da tubulação em paralelo, cada tubulação vai compartilhar a vazão. Vamos supor que a nova tubulação terá a mesma perda de carga de 40 m. Então, cada uma terá uma vazão de:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o comprimento $ L’ $ da nova tubulação que permite essa vazão com as mesmas características. Usando novamente a fórmula de Darcy-Weisbach para a nova tubulação:
Como a perda de carga $ \Delta h $ é a mesma (40 m), podemos relacionar a velocidade $ V’ $ com a nova vazão $ Q_2 $:
Rearranjando a fórmula de Darcy-Weisbach para encontrar $ L’ $:
Substituindo os valores:
Passo 6
No entanto, como queremos adicionar um trecho que tenha as mesmas características da anterior, o comprimento adicional necessário será tal que a soma dos comprimentos dos trechos em paralelo resulte na extensão total. Considerando que os trechos estão em paralelo e compartilhando a perda de carga, a extensão necessária já está calculada.
Resposta
A extensão do trecho adicional de tubulação necessário para aumentar a vazão em 20 L/s é de aproximadamente 1184 metros de $ \mathrm{L}_{\mathrm{CB}} $ e 2816 metros de $ \mathrm{L}_{\mathrm{AC}} $.