Água está escoando a 20^circ C através de um tubo liso, horizontal, com 5 cm de diâmetro interno. Em um ponto situado a 2 cm da parede, calcular a velocidade, a tensão de cisalhamento, a viscosidade turbulenta e o comprimento de mistura para uma velocidade média de (a) 1500 cm / s, (b) 150 cm / s, © 1,5 cm / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem água escoando a 20^circ C por um tubo horizontal liso com diâmetro interno de 5 cm. No ponto onde está a 2 cm da parede, precisamos calcular quatro coisas: a velocidade da água, a tensão de cisalhamento, a viscosidade turbulenta e o comprimento de mistura. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente sobre fluxo em tubos, e aplicar fórmulas que relacionam a velocidade do fluido com essas propriedades. Para isso, vamos precisar das equações de fluxo em tubos, leis de viscosidade e relações para fluxo turbulento.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o cenário. Temos um tubo com diâmetro interno D = 5 cm, e o ponto de interesse está a y = 2 cm da parede. A velocidade média do fluxo será dada para três casos diferentes: (a) Vmédia = 1500 cm/sé, (b) Vmédia = 150 cm/sé e © Vmédia = 1,5 cm/sé.

Passo 3

Para encontrar a velocidade no ponto a 2 cm da parede, vamos assumir que o perfil de velocidade no tubo segue a distribuição de fluxo laminar ou turbulento. Dado o tamanho das velocidades fornecidas, é provável que estejamos lidando com fluxo turbulento. Usaremos a relação de velocidade para fluxo turbulento em tubos, que pode ser aproximada por:
V(y) = Vmédia (1 - (yR)^1/7) é
onde R é o raio do tubo. Como D = 5 cm, R = 2,5 cm.

Passo 4

Vamos calcular a velocidade no ponto a 2 cm da parede para cada caso:
V(y) = Vmédia (1 - (22,5)^1/7) é
Calculando (22,5)^1/7:
(22,5)^1/7 approx (0,8)^0,142857 approx 0,964
Então:
V(y) approx Vmédia times (1 - 0,964) = Vmédia times 0,036 éé

Passo 5

Agora, vamos encontrar a tensão de cisalhamento ( tau). Para fluxo turbulento, a tensão de cisalhamento na parede pode ser estimada por:
tau = rho (VmédiaR)^2 é
Onde rho é a densidade da água. A 20^circ C, rho approx 998 kg/m^3.

Passo 6

A viscosidade turbulenta ( mut) pode ser calculada usando o modelo de mixing length:
mut = rho lm Vrel
Onde lm é o comprimento de mistura e Vrel é a velocidade relativa.

Passo 7

O comprimento de mistura ( lm) para fluxo turbulento em tubos pode ser estimado por:
lm = k R
Onde k é uma constante relacionada ao tipo de fluxo. Para fluxo turbulento, geralmente consideramos k approx 0,07.

Passo 8

Agora, aplicando essas fórmulas para cada caso:

Caso (a) Vmédia = 1500 cm/sé

  1. Velocidade no ponto:
V(y) = 1500 times 0,036 = 54 cm/s
  1. Tensão de cisalhamento:
tau = 998 times (15002,5)^2 = 998 times (600)^2 = 998 times 360000 = 359,280,000 N/m^2
  1. Comprimento de mistura:
lm = 0,07 times 2,5 = 0,175 cm
  1. Viscosidade turbulenta:
mut = 998 times 0,175 times 54 = 998 times 9,45 approx 9430,1 kg/(m cdot s)

Caso (b) Vmédia = 150 cm/sé

  1. Velocidade no ponto:
V(y) = 150 times 0,036 = 5,4 cm/s
  1. Tensão de cisalhamento:
tau = 998 times (1502,5)^2 = 998 times (60)^2 = 998 times 3600 = 3,592,800 N/m^2
  1. Comprimento de mistura:
lm = 0,07 times 2,5 = 0,175 cm
  1. Viscosidade turbulenta:
mut = 998 times 0,175 times 5,4 = 998 times 0,945 approx 943,11 kg/(m cdot s)

Caso © Vmédia = 1,5 cm/sé

  1. Velocidade no ponto:
V(y) = 1,5 times 0,036 = 0,054 cm/s
  1. Tensão de cisalhamento:
tau = 998 times (1,52,5)^2 = 998 times (0,6)^2 = 998 times 0,36 = 359,28 N/m^2
  1. Comprimento de mistura:
lm = 0,07 times 2,5 = 0,175 cm
  1. Viscosidade turbulenta:
mut = 998 times 0,175 times 0,054 = 998 times 0,00945 approx 9,44 kg/(m cdot s)

Resposta

Para as velocidades médias (a) 1500 cm/s, (b) 150 cm/s e © 1,5 cm/s, os resultados são:
  • Velocidade no ponto a 2 cm da parede:
    • (a) 54 cm/s
    • (b) 5,4 cm/s
    • © 0,054 cm/s
  • Tensão de cisalhamento:
    • (a) 359,280,000 N/m^2
    • (b) 3,592,800 N/m^2
    • © 359,28 N/m^2
  • Comprimento de mistura:
    • Todas as velocidades: 0,175 cm
  • Viscosidade turbulenta:
    • (a) 9430,1 kg/(m cdot s)
    • (b) 943,11 kg/(m cdot s)
    • © 9,44 kg/(m cdot s)

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