Água está escoando em regime permanente por um cotovelo de 180^circ. Na entrada do cotovelo, a pressão manométrica é 103 kPa . A água é descarregada para a atmosfera. Considere que as propriedades são uniformes nas seções de entrada e de saída; A1=2500 mm^2, A2=650 mm^2 e V1=3 m / s. Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar.
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Figura do problema 9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente o Princípio da Quantidade de Movimento. Vamos precisar das áreas das seções de entrada e saída, as velocidades, e a pressão na entrada. Nosso objetivo é encontrar a componente horizontal da força que mantém o cotovelo no lugar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a água está fluindo de uma seção com área e velocidade para outra seção com área . A pressão na entrada é e na saída, como é para a atmosfera, a pressão .

Passo 3

Vamos converter as áreas de mm² para m² para facilitar os cálculos:
A1 = 2500 , mm^2 = 2.5 times 10^-3 , m^2
A2 = 650 , mm^2 = 6.5 times 10^-4 , m^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a velocidade na saída A1 V1 = A2 V2 implies V2 = A1 V1A2 = 2.5 times 10^-3 times 36.5 times 10^-4 approx 11.54 , m/s . Usamos a continuidade, que diz que a massa de fluido é constante:

Passo 5

Aplicamos o Princípio da Quantidade de Movimento. A força resultante F = dotm (V2 - V1) é igual à taxa de mudança da quantidade de movimento:
dotm = 1000 times 2.5 times 10^-3 times 3 = 7.5 , kg/s
Onde . Considerando que a água tem densidade :

Passo 6

Calculamos a força devido à mudança de velocidade:
Fv = 7.5 times (11.54 - 3) = 7.5 times 8.54 approx 64.05 , N
Essa é a força horizontal resultante do fluxo de água.

Passo 7

Além da força devido ao fluxo, há a força de pressão na entrada. A força de pressão é:
Fp = P1 A1 = 103 times 10^3 times 2.5 times 10^-3 = 257.5 , N
Essa força também atua na direção horizontal.

Passo 8

A força total necessária para manter o cotovelo no lugar é a soma das forças de pressão e das forças devido à mudança de quantidade de movimento:
Ftotal = Fp + Fv = 257.5 + 64.05 approx 321.55 , N

Resposta

A componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar é aproximadamente 321,55 N.

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