Mostre que a diferença de energia entre um nível rotacional de energia da molécula de HBr é proporcional a
, onde
é o número quântico rotacional e
é o momento de inércia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a diferença de energia entre dois níveis rotacionais da molécula de HBr é proporcional a
. Aqui, estamos lidando com energia rotacional em mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender a expressão da energia rotacional e como calcular a diferença entre os níveis de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da energia rotacional para uma molécula como a HBr. A energia rotacional
é dada por:
Aqui:
-
é o número quântico rotacional, -
é a constante de Planck reduzida, -
é o momento de inércia da molécula.
Essa fórmula nos mostra como a energia depende do número quântico rotacional e do momento de inércia.
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença de energia entre dois níveis rotacionais consecutivos, ou seja, entre
e
. Vamos chamar essa diferença de
:
Substituindo as expressões das energias:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Expandindo os termos no numerador:
Subtraindo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos relacionar isso com
. Sabemos que:
Observando a expressão que encontramos para
:
Perceba que
está relacionado com
, já que
tem
no numerador. Portanto, a diferença de energia
é proporcional a
.
Resposta
A diferença de energia entre dois níveis rotacionais da molécula de HBr é proporcional a
.