Mostre que a diferença de energia entre um nível rotacional de energia da molécula de HBr é proporcional a , onde é o número quântico rotacional e é o momento de inércia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a diferença de energia entre dois níveis rotacionais da molécula de HBr é proporcional a . Aqui, estamos lidando com energia rotacional em mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender a expressão da energia rotacional e como calcular a diferença entre os níveis de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da energia rotacional para uma molécula como a HBr. A energia rotacional é dada por:
Aqui:
  • é o número quântico rotacional,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é o momento de inércia da molécula.
Essa fórmula nos mostra como a energia depende do número quântico rotacional e do momento de inércia.

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença de energia entre dois níveis rotacionais consecutivos, ou seja, entre e . Vamos chamar essa diferença de :
Substituindo as expressões das energias:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
Expandindo os termos no numerador:
Subtraindo:
Então:

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com . Sabemos que:
Observando a expressão que encontramos para :
Perceba que está relacionado com , já que tem no numerador. Portanto, a diferença de energia é proporcional a .

Resposta

A diferença de energia entre dois níveis rotacionais da molécula de HBr é proporcional a .

Exercícios relacionados

Você está de pé sobre uma plataforma sem atrito, que gira com uma rapidez angular de . Qual é a rapidez angular final da plataforma?
Um fazendeiro compra 675 kg de grãos, a grane1, da cooperativa local. Os grãos são despejados na sua caminhonete através de um alimentador afunilado com um diâmetro de saída de . O operador do alimentador determina a carga a pagar observando a variação como o tempo do peso bruto da caminhonete indicado na balança. O fluxo de grãos do alimentador ( ) é interrompido, quando a leitura da balança atinge o peso bruto desejado. Se a massa específica do grão é , determine a verdadeira carga a pagar.
Água está escoando em regime permanente por um cotovelo de . Na entrada do cotovelo, a pressão manométrica é 103 kPa . A água é descarregada para a atmosfera. Considere que as propriedades são uniformes nas seções de entrada e de saída; e . Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar.
(2)
Figura do problema 9
Quantização da Quantidade de Movimento Angular: A componente do spin de um elétron é , mas a orientação do vetor de spin é a direção do eixo z positivo?