Mostre que a diferença de energia entre um nível rotacional de energia da molécula de HBr é proporcional a Kell=ell(ell+1) hbar^2 /(2 I), onde ell é o número quântico rotacional e I é o momento de inércia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a diferença de energia entre dois níveis rotacionais da molécula de HBr é proporcional a . Aqui, estamos lidando com energia rotacional em mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender a expressão da energia rotacional e como calcular a diferença entre os níveis de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da energia rotacional para uma molécula como a HBr. A energia rotacional Eell = ell(ell + 1) hbar^22I é dada por:
Aqui:
  • é o número quântico rotacional,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é o momento de inércia da molécula.
Essa fórmula nos mostra como a energia depende do número quântico rotacional e do momento de inércia.

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença de energia entre dois níveis rotacionais consecutivos, ou seja, entre De e De. Vamos chamar essa diferença de :
Substituindo as expressões das energias:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
De
Expandindo os termos no numerador:
(ell+1)(ell+2) = ell^2 + 3ell + 2
ell(ell + 1) = ell^2 + ell
Subtraindo:
ell^2 + 3ell + 2 - (ell^2 + ell) = 2ell + 2
Então:
De

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com Kell = ell(ell+1) hbar^22I . Sabemos que:
De
Observando a expressão que encontramos para :
Perceba que está relacionado com , já que tem no numerador. Portanto, a diferença de energia é proporcional a .

Resposta

A diferença de energia entre dois níveis rotacionais da molécula de HBr é proporcional a .

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