Água flui para baixo ao longo de um tubo inclinado de em relação à horizontal conforme mostrado. A diferença de pressão é causada parcialmente pela gravidade e parcialmente pelo atrito. Obtenha uma expressão algébrica para a diferença de pressão. Calcule a diferença de pressão se ft e in.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos água fluindo para baixo em um tubo inclinado de em relação à horizontal. A diferença de pressão entre os pontos A e B, que é , é causada pela gravidade e pelo atrito. Nosso objetivo é encontrar uma expressão matemática para essa diferença de pressão e depois calcular o valor dela quando o comprimento do tubo é de 5 pés e a altura é de 6 polegadas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica de fluidos, como a pressão hidrostática e a perda de carga por atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a parte da diferença de pressão causada pela gravidade. Quando a água desce o tubo, a gravidade está puxando ela para baixo. A pressão devido à gravidade pode ser calculada usando a fórmula da pressão hidrostática:
Aqui, é a densidade da água, é a aceleração da gravidade e é a altura vertical que a água desce.

Passo 3

Agora, vamos pensar na parte da diferença de pressão causada pelo atrito dentro do tubo. Quando a água flui pelo tubo, ela atrita as paredes internas, o que cria uma perda de carga. Essa perda de carga por atrito pode ser calculada usando a fórmula de Darcy-Weisbach:
Mas, para simplificar, podemos usar a fórmula:
Onde:
  • é o fator de atrito,
  • é o comprimento do tubo,
  • é o diâmetro do tubo,
  • é a velocidade da água.
No entanto, como não temos informações sobre o diâmetro do tubo ou a velocidade da água, assumiremos que a perda de carga por atrito é proporcional ao comprimento e inversamente proporcional ao diâmetro .

Passo 4

Vamos combinar as duas partes para obter a diferença total de pressão:
Substituindo as expressões que encontramos:
Podemos fatorar :

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores numéricos. Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o sistema consistente. Vamos usar o sistema imperial:
  • pés
  • polegadas = 0,5 pés (já que 12 polegadas = 1 pé)
Assumindo que o tubo tem um diâmetro padrão e um fator de atrito conhecido (vamos assumir para simplificação), e a densidade da água , e .
Substituindo na fórmula:
Sem o valor de , não podemos calcular numericamente. Mas se considerarmos que o atrito é pequeno comparado à gravidade, podemos simplificar para:

Resposta

A diferença de pressão é aproximadamente .

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