A água está fluindo de uma mangueira de jardim com 2,5 cm de diâmetro a uma vazão de 40 L / min. Um bocal de 10 cm de comprimento é conectado à mangueira, o que reduz o diâmetro para 1,2 cm. Qual é a magnitude da aceleração da água ao passar pelo bocal?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve a água fluindo por uma mangueira. O diâmetro inicial da mangueira é de 2,5 cm e a vazão é de 40 litros por minuto. Depois, coloca-se um bocal com diâmetro reduzido para 1,2 cm e comprimento de 10 cm. A pergunta é: qual é a aceleração da água ao passar por esse bocal?
Vamos precisar usar conceitos de continuidade de fluxo e cinemática, especialmente para entender como a mudança de diâmetro afeta a velocidade e a aceleração da água.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é vazão. Vazão ( Q) é o volume de líquido que passa por um ponto em um certo tempo. No nosso caso, Q = 40 , L/min.
Precisamos converter essa vazão para unidades mais fáceis de trabalhar, como metros cúbicos por segundo.
Sabendo que:
1 , L = 0,001 , m^3
1 , min = 60 , s
Então:
Q = 40 , L/min = 40 times 0,001 , m^3 / 60 , s = 0,0006667 , m^3/s

Passo 3

Agora, vamos usar a equação da continuidade, que nos diz que o produto da área da seção transversal ( A) pela velocidade ( v) é constante em um fluxo incompressível:
A1 v1 = A2 v2
Primeiro, vamos calcular as áreas das duas seções:
A área de um círculo é dada por:
A = pi ( d2 )^2
Para a mangueira:
d1 = 2,5 , cm = 0,025 , m
A1 = pi ( 0,0252 )^2 approx 0,0004909 , m^2
Para o bocal:
d2 = 1,2 , cm = 0,012 , m
A2 = pi ( 0,0122 )^2 approx 0,0001131 , m^2

Passo 4

Com a vazão Q e as áreas A1 e A2, podemos encontrar as velocidades v1 e v2:
Sabemos que:
Q = A1 v1
v1 = QA1 = 0,00066670,0004909 approx 1,359 , m/s
E para o bocal:
Q = A2 v2
v2 = QA2 = 0,00066670,0001131 approx 5,895 , m/s

Passo 5

Agora, queremos encontrar a aceleração da água enquanto passa pelo bocal. A aceleração ( a) pode ser calculada usando a equação cinemática que relaciona a velocidade final ( v2), a velocidade inicial ( v1), a aceleração e a distância ( s):
v2^2 = v1^2 + 2 a s
Rearranjando para encontrar a:
a = v2^2 - v1^22 s
Sabemos que o comprimento do bocal s = 10 , cm = 0,10 , m.

Passo 6

Vamos substituir os valores que encontramos:
v1 = 1,359 , m/s
v2 = 5,895 , m/s
s = 0,10 , m
Então:
a = (5,895)^2 - (1,359)^22 times 0,10
Calculando:
a = 34,75 - 1,8460,20 = 32,9040,20 = 164,52 , m/s^2

Resposta

A magnitude da aceleração da água ao passar pelo bocal é aproximadamente 164,52 m/s².

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