Um campo de velocidade estacionário, bidimensional e incompressível é dado por,
V=(u, v)=(2 x y+1) i+(-y^2-0.6) j
onde as coordenadas x e y estão em metros e a magnitude da velocidade está em m / s. Qual é a taxa de deformação linear na direção x em s^-1 ? Qual é a velocidade angular do campo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo de velocidade bidimensional e incompressível dado por:
V=(u, v)=(2xy+1) i+(-y^2-0.6) j
A questão pede para encontrar a taxa de deformação linear na direção $ x $ e a velocidade angular do campo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos fluidos, especificamente derivadas parciais dos componentes da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a taxa de deformação linear na direção $ x $. Isso envolve calcular a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial u}{\partial x} $.
Sabemos que:
x
Então, derivando $ u $ em relação a $ x $:
u

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade angular do campo, que é a vorticidade $ \omega $. Em duas dimensões, a vorticidade é dada por:
omega
Primeiro, encontramos $ \frac{\partial v}{\partial x} $. Sabemos que:
omega = partial vpartial x - partial upartial y
Derivando $ v $ em relação a $ x $:
partial vpartial x
Agora, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
v = -y^2 - 0.6
Derivando $ u $ em relação a $ y $:
v
Então, a vorticidade é:
x

Resposta

A taxa de deformação linear na direção $ x $ é $ 2y , s^{-1} $ e a velocidade angular do campo é $ -2x , s^{-1} $.

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