Um campo de velocidade estacionário, bidimensional e incompressível é dado por,
onde as coordenadas x e y estão em metros e a magnitude da velocidade está em
. Qual é a taxa de deformação linear na direção
em
? Qual é a velocidade angular do campo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo de velocidade bidimensional e incompressível dado por:
A questão pede para encontrar a taxa de deformação linear na direção $ x $ e a velocidade angular do campo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos fluidos, especificamente derivadas parciais dos componentes da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a taxa de deformação linear na direção $ x $. Isso envolve calcular a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial u}{\partial x} $.
Sabemos que:
Então, derivando $ u $ em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade angular do campo, que é a vorticidade $ \omega $. Em duas dimensões, a vorticidade é dada por:
Primeiro, encontramos $ \frac{\partial v}{\partial x} $. Sabemos que:
Derivando $ v $ em relação a $ x $:
Agora, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Derivando $ u $ em relação a $ y $:
Então, a vorticidade é:
Resposta
A taxa de deformação linear na direção $ x $ é $ 2y , s^{-1} $ e a velocidade angular do campo é $ -2x , s^{-1} $.