Um campo de escoamento é definido por V=[(y^2-6) imath+(2 x+3) jmath] m / s, onde x e y são em metros. Determine o vetor aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de dinâmica dos fluidos! A gente tem um campo de escoamento definido pela velocidade V = [(y^2 - 6) imath + (2x + 3) jmath] m/s. O objetivo aqui é encontrar o vetor aceleração desse fluxo. Para isso, vamos precisar entender como calcular a aceleração em um campo de velocidade, que envolve derivadas parciais e o conceito de aceleração convectiva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor aceleração a em um campo de velocidade é dado pela expressão:
a = (V cdot nabla) V
Isso significa que a aceleração é obtida aplicando a operação do vetor velocidade sobre o gradiente da velocidade. Vamos quebrar isso em componentes para facilitar.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da velocidade:
Vx = y^2 - 6 Vy = 2x + 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais dessas componentes em relação a x e y.

Passo 4

Calculando as derivadas:
partial Vxpartial x = 0 partial Vxpartial y = 2y partial Vypartial x = 2 partial Vypartial y = 0
Essas derivadas são essenciais para calcular o gradiente da velocidade.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da aceleração:
a = Vx partial Vxpartial x + Vy partial Vxpartial y imath + Vx partial Vypartial x + Vy partial Vypartial y jmath
Substituindo os valores que já calculamos:
ax = (y^2 - 6)(0) + (2x + 3)(2y) = 4xy + 6y ay = (y^2 - 6)(2) + (2x + 3)(0) = 2y^2 - 12

Resposta

O vetor aceleração é dado por:
a = (4xy + 6y) imath + (2y^2 - 12) jmath , m/s^2

Exercícios relacionados