(ENADE 2011) Um tanque industrial cilíndrico com 1,0 m de raio, preenchido com óleo viscoso até um nível situado a uma altura h de sua base, deve ser drenado através de um tubo com 0,2 m de raio e comprimento L, conectado à sua base. O perfil de velocidade do óleo no tubo de drenagem pode ser descrito pela equação:
v=vmax [1-(rR)^2]
Em que v é a velocidade do óleo (m/s); v max é a velocidade máxima do óleo, r é o raio e R é o raio do tubo.
Considerando esta situação problema, faça o que se pede nos itens a seguir, justificando suas respostas:
a) Qual o volume em litros, de óleo retirado do tanque após 10 s, se a velocidade máxima de descarga do óleo alcançar 0,35 m / s ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de física envolvendo fluxo de óleo de um tanque cilíndrico através de um tubo. Precisamos calcular o volume de óleo que sai do tanque em 10 segundos, sabendo que a velocidade máxima do óleo no tubo é de 0,35 , m/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo volumétrico e integrar a velocidade sobre a área do tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada para a velocidade do óleo no tubo:
v = vmax [1 - (rR)^2 ]
Aqui, v é a velocidade do óleo em um ponto a uma distância r do centro do tubo, vmax é a velocidade máxima no centro, e R é o raio do tubo.

Passo 3

Para encontrar o fluxo volumétrico total Q (volume por unidade de tempo), precisamos integrar a velocidade sobre toda a área da seção transversal do tubo. A fórmula do fluxo volumétrico é:
Q = integral0^R v cdot 2pi r , dr
Substituindo a expressão de v:
Q = integral0^0,2 0,35 [1 - (r0,2)^2 ] cdot 2pi r , dr

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
Q = 2pi cdot 0,35 integral0^0,2 [r - r^30,04] dr
Resolvendo a integral termo a termo:
integral r , dr = r^22
integral r^3 , dr = r^44
Então:
Q = 2pi cdot 0,35 [ (0,2)^22 - (0,2)^44 cdot 0,04 ]

Passo 5

Calculando os termos:
(0,2)^22 = 0,042 = 0,02
(0,2)^44 cdot 0,04 = 0,00160,16 = 0,01
Substituindo de volta:
Q = 2pi cdot 0,35 [ 0,02 - 0,01 ] = 2pi cdot 0,35 cdot 0,01
Q = 2 cdot 3,1416 cdot 0,35 cdot 0,01 approx 0,022 , m^3/s

Passo 6

Agora, para encontrar o volume total V retirado em 10 segundos:
V = Q cdot t = 0,022 , m^3/s cdot 10 , s = 0,22 , m^3
Convertendo para litros (1 m³ = 1000 litros):
V = 0,22 , m^3 cdot 1000 = 220 , litros

Resposta

O volume de óleo retirado do tanque após 10 segundos é de 220 litros.

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