(ENADE 2011) Um tanque industrial cilíndrico com
de raio, preenchido com óleo viscoso até um nível situado a uma altura h de sua base, deve ser drenado através de um tubo com
de raio e comprimento L, conectado à sua base. O perfil de velocidade do óleo no tubo de drenagem pode ser descrito pela equação:
Em que v é a velocidade do óleo (m/s);
é a velocidade máxima do óleo, r é o raio e R é o raio do tubo.
Considerando esta situação problema, faça o que se pede nos itens a seguir, justificando suas respostas:
a) Qual o volume em litros, de óleo retirado do tanque após 10 s, se a velocidade máxima de descarga do óleo alcançar
?
Considerando esta situação problema, faça o que se pede nos itens a seguir, justificando suas respostas:
a) Qual o volume em litros, de óleo retirado do tanque após 10 s, se a velocidade máxima de descarga do óleo alcançar
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de física envolvendo fluxo de óleo de um tanque cilíndrico através de um tubo. Precisamos calcular o volume de óleo que sai do tanque em 10 segundos, sabendo que a velocidade máxima do óleo no tubo é de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de fluxo volumétrico e integrar a velocidade sobre a área do tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada para a velocidade do óleo no tubo:
Aqui,
é a velocidade do óleo em um ponto a uma distância
do centro do tubo,
é a velocidade máxima no centro, e
é o raio do tubo.
Passo 3
Para encontrar o fluxo volumétrico total
(volume por unidade de tempo), precisamos integrar a velocidade sobre toda a área da seção transversal do tubo. A fórmula do fluxo volumétrico é:
Substituindo a expressão de
:
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
Resolvendo a integral termo a termo:
Então:
Passo 5
Calculando os termos:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, para encontrar o volume total
retirado em 10 segundos:
Convertendo para litros (1 m³ = 1000 litros):
Resposta
O volume de óleo retirado do tanque após 10 segundos é de 220 litros.