Água a
é aquecida de 35 a
num tubo de
de diâmetro cuja superfície é mantida a
. Qual deve ser o comprimento do tubo para que seja efetuada esta transferência de calor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre aquecimento de água em um tubo. A matéria envolvida aqui é transferência de calor, especificamente por convecção. Para resolver, vamos precisar da vazão de massa da água, das temperaturas inicial e final, do diâmetro do tubo e da temperatura da superfície do tubo. Nosso objetivo é encontrar o comprimento do tubo necessário para que ocorra essa transferência de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que a água precisa absorver para passar de 35°C para 40°C. Usamos a fórmula:
Onde:
-
é o calor absorvido (em Joules por segundo, ou Watts). -
é a vazão de massa (0,8 kg/s). -
é a capacidade térmica específica da água (~4186 J/kg·°C). -
é a variação de temperatura (40°C - 35°C = 5°C).
Vamos calcular:
Então, a água precisa absorver 16.744 Watts de calor.
Passo 3
Agora, vamos relacionar esse calor com a transferência de calor pela superfície do tubo. A fórmula geral para transferência de calor por convecção é:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção (vamos supor um valor ou precisaríamos dele para continuar). -
é a área de transferência de calor. -
é a diferença de temperatura média entre a superfície do tubo e a água.
Assumindo que a diferença de temperatura média é aproximadamente a diferença entre a temperatura da superfície (90°C) e a média das temperaturas da água (37,5°C):
Reorganizando a fórmula para encontrar a área
:
Passo 4
Vamos calcular a área superficial do tubo. A área de um cilindro é dada por:
Onde:
-
é o diâmetro do tubo (2,5 cm = 0,025 m). -
é o comprimento do tubo que queremos encontrar.
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Precisamos agora do valor do coeficiente de transferência de calor por convecção (
). Para água em fluxo turbulento dentro de um tubo, podemos usar correlações como a de Dittus-Boelter:
Onde:
-
é o número de Nusselt. -
é o número de Reynolds. -
é o número de Prandtl. -
é 0,4 para aquecimento.
Primeiro, calculamos
e
:
Onde:
-
é a densidade da água (~1000 kg/m³). -
é a velocidade da água. -
é a viscosidade dinâmica da água (~0,001 Pa·s).
A velocidade
pode ser encontrada pela relação:
Área da seção transversal:
Calculando:
Agora,
:
E
para a água é aproximadamente 7.
Agora, calculando
:
Então, o coeficiente de transferência de calor
:
Onde
é a condutividade térmica da água (~0,6 W/m·K).
Passo 6
Agora, voltamos à equação do comprimento
:
Substituindo os valores:
Resposta
O comprimento necessário do tubo para efetuar a transferência de calor desejada é de aproximadamente 1,31 metros.