Para a água liquida, a compressibilidade isotérmica é dada por:
kappa=cV(P+b)
onde c e b são funções somente da temperatura.
Se 1 kg de água for comprimido isotermicamente e reversivelmente de 1 a 500 bar, a 60^circ C, que quantidade de trabalho será necessária? A 60^circ C, b=2.700 bar e c=0,125 cm^3 g^-1

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício que envolve a compressão isotérmica de 1 kg de água líquida. O objetivo é calcular a quantidade de trabalho necessária para comprimir a água de 1 bar para 500 bar a uma temperatura de 60°C. Para isso, vamos utilizar a fórmula da compressibilidade isotérmica:
kappa = cV(P + b)
Conteúdo da Matéria:
  • Compressibilidade Isotérmica: Mede a variação relativa do volume de um líquido em resposta a uma mudança de pressão, mantendo a temperatura constante.
  • Trabalho em Processos Isotérmicos: Em processos de compressão ou expansão, o trabalho realizado pode ser calculado integrando a pressão em relação ao volume.
O que vamos precisar:
  • Entender a relação entre compressibilidade, volume e pressão.
  • Aplicar integração para calcular o trabalho realizado durante a compressão.

Passo 2

Relacionando Compressibilidade e Volume
A compressibilidade isotérmica é definida como:
kappa = -1V ( partial Vpartial P )T
Comparando com a fórmula dada:
kappa = cV(P + b)
Podemos igualar as duas expressões:
-1V ( partial Vpartial P )T = cV(P + b)
Simplificando, temos:
partial Vpartial P = -cP + b

Passo 3

Integrando para Encontrar a Variação de Volume
Para encontrar como o volume varia com a pressão, devemos integrar a expressão acima:
dVdP = -cP + b
Integrando de integralV0^V dV = -c integralP0^P dPP + b a V - V0 = -c ln(P + bP0 + b) :
V(P) = V0 - c ln(P + bP0 + b)
Isso resulta em:
Portanto, o volume em função da pressão é:

Passo 4

Calculando o Trabalho Realizado
O trabalho W = integralV0^V P , dV realizado durante a compressão isotérmica reversível é dado por:
W = integralP0^P2 P (-cP + b) dP = -c integralP0^P2 PP + b dP
Usando a relação PP + b = 1 - bP + b , substituímos na integral:
W = -c [ integralP0^P2 1 , dP - b integralP0^P2 1P + b dP ]
Simplificando a integral:
W = -c [ (P2 - P0) - b ln(P2 + bP0 + b) ]
Portanto:
Integrando:

Passo 5

Convertendo Unidades e Substituindo os Valores
Vamos agora substituir os valores fornecidos:
  • W = -0,125 times 10^-3 [ (500 - 1) - 2,700 ln(500 + 2,7001 + 2,700) ] , m^3 cdot bar
  • W = -0,125 times 10^-3 [ 499 - 2,700 times 0,170 ]
  • W = -0,125 times 10^-3 [ 499 - 0,459 ] = -0,125 times 10^-3 times 498,541 approx -0,0623 , m^3 cdot bar
Substituindo na fórmula do trabalho:
Calculando os termos:
Substituindo:
Calculando:

Passo 6

Convertendo o Trabalho para Joules
Sabemos que:
  • W = -0,0623 , m^3 cdot bar times 10^5 , Jm^3 cdot bar = -6.230 , J
  • W approx 6.230 , J
Portanto:
Como o trabalho realizado na compressão é positivo (energia fornecida ao sistema), ignoramos o sinal negativo:

Resposta

A quantidade de trabalho necessária para comprimir 1 kg de água isotermicamente de 1 bar para 500 bar a 60°C é aproximadamente 6.230 Joules.

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