Para a água liquida, a compressibilidade isotérmica é dada por:
onde c e b são funções somente da temperatura.
Se 1 kg de água for comprimido isotermicamente e reversivelmente de 1 a 500 bar, a
, que quantidade de trabalho será necessária? A
bar e
Se 1 kg de água for comprimido isotermicamente e reversivelmente de 1 a 500 bar, a
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício que envolve a compressão isotérmica de 1 kg de água líquida. O objetivo é calcular a quantidade de trabalho necessária para comprimir a água de 1 bar para 500 bar a uma temperatura de 60°C. Para isso, vamos utilizar a fórmula da compressibilidade isotérmica:
Conteúdo da Matéria:
- Compressibilidade Isotérmica: Mede a variação relativa do volume de um líquido em resposta a uma mudança de pressão, mantendo a temperatura constante.
- Trabalho em Processos Isotérmicos: Em processos de compressão ou expansão, o trabalho realizado pode ser calculado integrando a pressão em relação ao volume.
O que vamos precisar:
- Entender a relação entre compressibilidade, volume e pressão.
- Aplicar integração para calcular o trabalho realizado durante a compressão.
Passo 2
Relacionando Compressibilidade e Volume
A compressibilidade isotérmica é definida como:
Comparando com a fórmula dada:
Podemos igualar as duas expressões:
Simplificando, temos:
Passo 3
Integrando para Encontrar a Variação de Volume
Para encontrar como o volume varia com a pressão, devemos integrar a expressão acima:
Integrando de
a
:
Isso resulta em:
Portanto, o volume em função da pressão é:
Passo 4
Calculando o Trabalho Realizado
O trabalho
realizado durante a compressão isotérmica reversível é dado por:
Usando a relação
, substituímos na integral:
Simplificando a integral:
Portanto:
Integrando:
Passo 5
Convertendo Unidades e Substituindo os Valores
Vamos agora substituir os valores fornecidos:
Substituindo na fórmula do trabalho:
Calculando os termos:
Substituindo:
Calculando:
Passo 6
Convertendo o Trabalho para Joules
Sabemos que:
Portanto:
Como o trabalho realizado na compressão é positivo (energia fornecida ao sistema), ignoramos o sinal negativo:
Resposta
A quantidade de trabalho necessária para comprimir 1 kg de água isotermicamente de 1 bar para 500 bar a 60°C é aproximadamente 6.230 Joules.