A água se move com uma velocidade de 5,0 m/s em um cano com uma área de seção reta de 4,0 cm². A água desce gradualmente 10 m enquanto a seção reta aumenta para 8,0 cm².
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão da descida é 1,5x10⁵ Pa, qual será a pressão (em pascal) depois da descida? (considerar a água como líquido perfeito).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos água fluindo em um cano que inicialmente tem uma velocidade de 5,0 , m/s e uma área de seção reta de 4,0 , cm²². Após a água descer 10 metros, a seção reta do cano aumenta para 8,0 , cm²². Precisamos encontrar:
a) A nova velocidade da água após a descida.
b) A nova pressão da água após a descida, sabendo que a pressão inicial era 1,5 times 10^5 , Pa e considerando a água como um líquido perfeito.
Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Continuidade e a Equação de Bernoulli da dinâmica dos fluidos.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). O Princípio da Continuidade nos diz que, para um fluxo incompressível e estacionário, o produto da área da seção reta pela velocidade do fluido permanece constante ao longo do cano. Isso é expresso pela equação:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • A1 e A2 são as áreas das seções retas antes e depois da descida,
  • v1 e v2 são as velocidades do fluido antes e depois da descida.

Passo 3

Primeiro, precisamos converter as áreas de centímetros quadrados para metros quadrados para manter as unidades consistentes:
A1 = 4,0 , cm² = 4,0 times 10^-4 , m² ²²
A2 = 8,0 , cm² = 8,0 times 10^-4 , m² ²²

Passo 4

Agora, aplicamos o Princípio da Continuidade para encontrar v2:
A1 times v1 = A2 times v2 v2 = A1 times v1A2
Substituindo os valores:
v2 = 4,0 times 10^-4 , m² times 5,0 , m/s8,0 times 10^-4 , m² = 2,0 times 10^-38,0 times 10^-4 = 2,5 , m/s ²²

Passo 5

Para a parte (b), vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos de um fluxo estático ou em movimento:
P1 + 12 rho v1² + rho g h1 = P2 + 12 rho v2² + rho g h2 ²²
Onde:
  • P é a pressão,
  • rho é a densidade do fluido (para a água, aproximadamente 1000 , kg/m³³),
  • v é a velocidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s²²),
  • h é a altura.
Considerando que a água desce 10 metros, a diferença de altura $ \Delta h = h_1 - h_2 = 10 , m $.

Passo 6

Assumindo que a pressão após a descida é P2 e a pressão antes é P1 = 1,5 times 10^5 , Pa, podemos reorganizar a equação de Bernoulli para encontrar P2:
P2 = P1 + 12 rho v1² - 12 rho v2² + rho g De²²

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
P2 = 1,5 times 10^5 , Pa + 12 times 1000 , kg/m³ times (5,0 , m/s)² - 12 times 1000 , kg/m³ times (2,5 , m/s)² + 1000 , kg/m³ times 9,8 , m/s² times 10 , m ³²³²³²
Calculando cada termo:
12 times 1000 times 25 = 12,500 , Pa
12 times 1000 times 6,25 = 3,125 , Pa
1000 times 9,8 times 10 = 98,000 , Pa
Então:
P2 = 1,5 times 10^5 + 12,500 - 3,125 + 98,000 = 1,5 times 10^5 + 12,500 - 3,125 + 98,000
P2 = 150,000 + 12,500 - 3,125 + 98,000 = 257,375 , Pa

Resposta

a) A velocidade da água depois da descida é de 2,5 m/s.
b) A pressão após a descida será de 257.375 Pa.

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