A água se move com uma velocidade de 5,0 m/s em um cano com uma área de seção reta de 4,0 cm². A água desce gradualmente 10 m enquanto a seção reta aumenta para 8,0 cm².
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão da descida é 1,5x10⁵ Pa, qual será a pressão (em pascal) depois da descida? (considerar a água como líquido perfeito).
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão da descida é 1,5x10⁵ Pa, qual será a pressão (em pascal) depois da descida? (considerar a água como líquido perfeito).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos água fluindo em um cano que inicialmente tem uma velocidade de
e uma área de seção reta de
. Após a água descer 10 metros, a seção reta do cano aumenta para
. Precisamos encontrar:
a) A nova velocidade da água após a descida.
b) A nova pressão da água após a descida, sabendo que a pressão inicial era
e considerando a água como um líquido perfeito.
Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Continuidade e a Equação de Bernoulli da dinâmica dos fluidos.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). O Princípio da Continuidade nos diz que, para um fluxo incompressível e estacionário, o produto da área da seção reta pela velocidade do fluido permanece constante ao longo do cano. Isso é expresso pela equação:
Onde:
-
e são as áreas das seções retas antes e depois da descida, -
e são as velocidades do fluido antes e depois da descida.
Passo 3
Primeiro, precisamos converter as áreas de centímetros quadrados para metros quadrados para manter as unidades consistentes:
Passo 4
Agora, aplicamos o Princípio da Continuidade para encontrar
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para a parte (b), vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos de um fluxo estático ou em movimento:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade do fluido (para a água, aproximadamente ), -
é a velocidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Considerando que a água desce 10 metros, a diferença de altura $ \Delta h = h_1 - h_2 = 10 , m $.
Passo 6
Assumindo que a pressão após a descida é
e a pressão antes é
, podemos reorganizar a equação de Bernoulli para encontrar
:
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
a) A velocidade da água depois da descida é de 2,5 m/s.
b) A pressão após a descida será de 257.375 Pa.