Água pura entra no primeiro de dois tanques conectados em série em uma vazão de
. Inicialmente, o primeiro tanque contém
de uma solução contendo
em massa de NaOH e o segundo tanque contem
de uma solução
em massa de NaOH . Determine o tempo requerido para a corrente que deixa o segundo tanque atingir a concentração de
de NaOH numa vazão de
. Considere que o tanque opere nas condições de mistura perfeita e a massa específica da solução de NaOH é
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos dois tanques conectados em série, ou seja, a saída do primeiro tanque vai pro segundo. Água pura (sem NaOH) entra no primeiro tanque com uma vazão de
. Inicialmente:
- Tanque 1: 1,9 m³ de solução com 20% de NaOH em massa.
- Tanque 2: 1,15 m³ de solução com 40% de NaOH em massa.
Queremos descobrir quanto tempo leva pra saída do segundo tanque ter 5% de NaOH na mesma vazão de
. Vamos precisar usar conceitos de balanço de massa e entender como as concentrações mudam com o tempo nos tanques.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa de NaOH em cada tanque inicialmente. A massa é dada por:
Para o Tanque 1:
E para o Tanque 2:
Passo 3
Agora, vamos montar as equações de balanço de massa para cada tanque. Como os tanques estão em série, a saída do Tanque 1 alimenta o Tanque 2.
Para o Tanque 1:
A taxa de variação da massa de NaOH no Tanque 1 é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída. Como a entrada é água pura (sem NaOH), a equação fica:
Onde:
-
é a massa de NaOH no Tanque 1. -
é a vazão ( ). -
é a concentração de NaOH no Tanque 1 no tempo .
Para o Tanque 2:
A variação da massa de NaOH no Tanque 2 depende da entrada do Tanque 1 e da saída do próprio Tanque 2:
Onde:
-
é a massa de NaOH no Tanque 2. -
é a concentração de NaOH no Tanque 2 no tempo .
Passo 4
Vamos simplificar as equações usando a relação
, onde
é o volume,
a densidade e
a concentração.
Para o Tanque 1:
Simplificando:
Para o Tanque 2:
Simplificando:
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial separável. Integrando:
Onde
.
Passo 6
Agora, substituímos
na equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando o fator integrante ou método de solução de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 7
Após resolver a equação diferencial para
, obtemos uma expressão que depende de
. Nosso objetivo é encontrar o tempo
quando
(5%).
Substituindo os valores conhecidos:
Resolvendo a equação para
, encontramos o tempo necessário para que a concentração no segundo tanque atinja 5%.
Resposta
Após os cálculos, o tempo requerido para que a corrente que sai do segundo tanque atinja uma concentração de
de NaOH é aproximadamente 78,3 horas.