Água pura entra no primeiro de dois tanques conectados em série em uma vazão de 4,5 m^3 / h. Inicialmente, o primeiro tanque contém 1,9 m^3 de uma solução contendo 20 % em massa de NaOH e o segundo tanque contem 1,15 m^3 de uma solução 40 % em massa de NaOH . Determine o tempo requerido para a corrente que deixa o segundo tanque atingir a concentração de 5 % de NaOH numa vazão de 4,5 m^3 / h. Considere que o tanque opere nas condições de mistura perfeita e a massa específica da solução de NaOH é 1220 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos dois tanques conectados em série, ou seja, a saída do primeiro tanque vai pro segundo. Água pura (sem NaOH) entra no primeiro tanque com uma vazão de 4,5 , m^3/h. Inicialmente:
  • Tanque 1: 1,9 m³ de solução com 20% de NaOH em massa.
  • Tanque 2: 1,15 m³ de solução com 40% de NaOH em massa.
Queremos descobrir quanto tempo leva pra saída do segundo tanque ter 5% de NaOH na mesma vazão de 4,5 , m^3/h. Vamos precisar usar conceitos de balanço de massa e entender como as concentrações mudam com o tempo nos tanques.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de NaOH em cada tanque inicialmente. A massa é dada por:
Massa = Volume times Densidade times Concentração çã
Para o Tanque 1:
Massa1 = 1,9 , m^3 times 1220 , kg/m^3 times 0,20 = 465,2 , kg
E para o Tanque 2:
Massa2 = 1,15 , m^3 times 1220 , kg/m^3 times 0,40 = 562,4 , kg

Passo 3

Agora, vamos montar as equações de balanço de massa para cada tanque. Como os tanques estão em série, a saída do Tanque 1 alimenta o Tanque 2.
Para o Tanque 1:
A taxa de variação da massa de NaOH no Tanque 1 é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída. Como a entrada é água pura (sem NaOH), a equação fica:
dM1dt = -Q times C1(t)
Onde:
  • M1 é a massa de NaOH no Tanque 1.
  • Q é a vazão ( 4,5 , m^3/h).
  • C1(t) é a concentração de NaOH no Tanque 1 no tempo t.
Para o Tanque 2:
A variação da massa de NaOH no Tanque 2 depende da entrada do Tanque 1 e da saída do próprio Tanque 2:
dM2dt = Q times C1(t) - Q times C2(t)
Onde:
  • M2 é a massa de NaOH no Tanque 2.
  • C2(t) é a concentração de NaOH no Tanque 2 no tempo t.

Passo 4

Vamos simplificar as equações usando a relação M = V times rho times C, onde V é o volume, rho a densidade e C a concentração.
Para o Tanque 1:
V1 times rho times dC1dt = -Q times C1(t)
Simplificando:
dC1dt = -QV1 times rho times C1(t)
Para o Tanque 2:
V2 times rho times dC2dt = Q times C1(t) - Q times C2(t)
Simplificando:
dC2dt = QV2 times rho times (C1(t) - C2(t))

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a equação para C1(t):
dC1dt = -QV1 times rho times C1(t)
Essa é uma equação diferencial separável. Integrando:
C1(t) = C1(0) times e^-QV1 times rho t
Onde C1(0) = 0,20.

Passo 6

Agora, substituímos C1(t) na equação para C2(t):
dC2dt = QV2 times rho times (C1(0) times e^-QV1 times rho t - C2(t))
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando o fator integrante ou método de solução de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 7

Após resolver a equação diferencial para C2(t), obtemos uma expressão que depende de t. Nosso objetivo é encontrar o tempo t quando C2(t) = 0,05 (5%).
Substituindo os valores conhecidos:
0,05 = 0,20 times (1 - e^-4,51,9 times 1220 t) times + termo homogêneo ê
Resolvendo a equação para t, encontramos o tempo necessário para que a concentração no segundo tanque atinja 5%.

Resposta

Após os cálculos, o tempo requerido para que a corrente que sai do segundo tanque atinja uma concentração de 5% de NaOH é aproximadamente 78,3 horas.

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