A reação irreversível se desenvolve em um reator que inicialmente continha 1,5 m^3 de uma solução contendo 1 kmol / m^3 de A. Uma solução contendo 5 times 10^-3 kmol / m^3 de A entra no tanque em uma vazão de 10 m^3 / h e é misturado perfeitamente com a solução existente. Se uma corrente deixa o tanque numa vazão que de 5 m^3 / h, obtenha uma expressão para a concentração de A como uma função do tempo. Assuma cinética de primeira ordem e a variação da massa específica da mistura negligenciável.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma reação química onde o reagente A se transforma em produto P de forma irreversível, ou seja, só vai para frente: A xrightarrowk1 P. Essa reação está acontecendo em um reator que, no começo, tem 1,5 m³ de solução com uma concentração de 1 kmol/m³ de A. Além disso, uma nova solução com uma concentração bem menor de A (5 × 10⁻³ kmol/m³) está entrando no tanque a uma vazão de 10 m³/h. Enquanto isso, parte da mistura está saindo do reator a uma vazão de 5 m³/h. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos diga qual será a concentração de A no reator em qualquer momento de tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de balanço de massa e cinética de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o volume da solução no reator muda com o tempo. Como a solução está entrando e saindo, o volume não fica constante. A diferença entre a vazão de entrada e a de saída vai determinar como o volume varia ao longo do tempo.
Passo 3
Vamos calcular a taxa de variação do volume (dVdt). A vazão de entrada é de 10 m³/h e a de saída é de 5 m³/h. Então:
dVdt = Qin - Qout = 10 m^3/h - 5 m^3/h = 5 m^3/h
Isso significa que, a cada hora, o volume aumenta em 5 m³.
Passo 4
Integrando a taxa de variação do volume, obtemos a expressão para o volume em função do tempo:
V(t) = V0 + 5t
onde V0 = 1,5 m^3 é o volume inicial, e t é o tempo em horas.
Passo 5
Agora, vamos montar a equação de balanço de massa para o reagente A. A variação da quantidade de A dentro do reator é igual à entrada menos a saída menos o que está sendo consumido na reação:
dCAdt = QinV(t) (CA,in - CA) - k1 CA
onde:
CA é a concentração de A no reator,
CA,in é a concentração de A na corrente de entrada,
k1 é a constante de velocidade da reação.
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos na equação:
dCAdt = 101,5 + 5t (5 times 10^-3 - CA) - k1 CA
Aqui, dividimos a entrada pela variação do volume para ajustar as concentrações.
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
dCAdt + (101,5 + 5t + k1) CA = 0,051,5 + 5t
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método do fator integrante.
Passo 8
Após resolver a equação diferencial, chegamos à expressão para a concentração de A em função do tempo:
CA(t) = ( CA0 - 5 times 10^-31 + k15 ) ( 1,51,5 + 5t )^2 e^-k1 t + 5 times 10^-31 + k15
Onde CA0 = 1 kmol/m^3 é a concentração inicial de A.
Resposta
A concentração de A em função do tempo é dada por:
CA(t) = ( 1 - 5 times 10^-31 + k15 ) ( 1,51,5 + 5t )^2 e^-k1 t + 5 times 10^-31 + k15