Estime o Módulo de Thiele e derive uma expressão para o fator de efetividade para um catalisador poroso cilíndrico (porosidade varepsilon e tortuosidade tau ) no qual ocorre uma reação A xrightarrowk1 B. Assuma que a reação seja de 1^a ordem e que a altura da partícula seja muito maior que seu diâmetro (formato de agulha).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para estimarmos o Módulo de Thiele e derivarmos uma expressão para o fator de efetividade de um catalisador poroso cilíndrico onde ocorre a reação $ A \xrightarrow{k_{1}} B $. Aqui, a porosidade é representada por $ \varepsilon $ e a tortuosidade por $ \tau $. Além disso, a reação é de primeira ordem e estamos considerando que a altura da partícula é muito maior que seu diâmetro, ou seja, temos um formato de agulha. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de Módulo de Thiele e fator de efetividade, além de saber como aplicar essas ideias a catalisadores porosos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Módulo de Thiele. Ele é uma dimensão adimensional que relaciona a taxa da reação química com a taxa de difusão dentro do catalisador. Essencialmente, ele nos diz se a reação está limitada pela própria reação química ou pela difusão dos reagentes até os sítios ativos do catalisador. A fórmula geral para o Módulo de Thiele ($ \phi $) para reações de primeira ordem é:
phi
onde:
  • $ R $ é o raio do catalisador,
  • $ k_{1} $ é a constante da reação de primeira ordem,
  • $ D_{eff} $ é o coeficiente de difusão efetivo.

Passo 3

Agora, precisamos considerar que o catalisador é poroso. Isso significa que a difusão dentro dele não é tão simples quanto no espaço livre. A porosidade ($ \varepsilon varepsilon \tau tau ã D_{eff} $). A relação entre eles é dada por:
Deff
onde $ D $ é o coeficiente de difusão no meio livre. Substituindo $ D_{eff} $ na fórmula do Módulo de Thiele, temos:
Deff = Dtau varepsilon

Passo 4

Agora que temos o Módulo de Thiele, vamos derivar a expressão para o fator de efetividade ($ \eta $). Esse fator indica o quão efetiva é a reação dentro do catalisador em comparação com a reação ocorrendo completamente na superfície. Para partículas cilíndricas com formato de agulha (altura muito maior que o diâmetro) e reações de primeira ordem, a relação entre o fator de efetividade e o Módulo de Thiele é dada por:
eta
onde $ \tanh $ é a função hiperbólica tangente.

Resposta

Portanto, a expressão para o fator de efetividade do catalisador poroso cilíndrico é:
eta = 1phi tanh(phi) com phi = R raizk1 tauD varepsilon

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