A água sai do fundo do funil a uma velocidade média de
, onde t está em segundos. Determine a velocidade média em que o nível de água está caindo no instante y
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos dizendo. Temos um funil do qual a água está saindo a uma velocidade média de
, onde
é o tempo em segundos. Inicialmente, em
, o nível da água está a
. Precisamos descobrir a velocidade média com que o nível da água está caindo no instante em que
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a relação entre a velocidade de saída da água e a taxa de variação do nível da água no funil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade com que o nível da água está caindo (
) está relacionada com a velocidade de saída da água (
). A taxa de diminuição do nível da água depende da área da seção transversal do funil em função de
. Supondo que o funil seja de forma cônica, a área
da seção transversal pode ser proporcional a
.
Passo 3
A relação entre a velocidade de saída da água e a taxa de variação do nível da água pode ser expressa pela equação de conservação de massa:
Isolando
:
Assumindo que
, onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 4
Substituindo a expressão de
na equação:
Agora, precisamos determinar a constante
. Usamos a condição inicial
e
:
Podemos resolver para
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar
quando
. Assumindo que
permanece constante, substituímos os valores:
Como já temos
, podemos simplificar:
E substituindo
:
Isso mostra que
depende do tempo
quando
.
Resposta
A velocidade média com que o nível de água está caindo no instante em que
é dada por
onde
é a constante de proporcionalidade da área da seção transversal do funil.