A água sai do fundo do funil a uma velocidade média de V=3 exp (-0,05 t)) m / s, onde t está em segundos. Determine a velocidade média em que o nível de água está caindo no instante y =100 mm Em t=0, y=200 mm.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos dizendo. Temos um funil do qual a água está saindo a uma velocidade média de , onde é o tempo em segundos. Inicialmente, em , o nível da água está a . Precisamos descobrir a velocidade média com que o nível da água está caindo no instante em que . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a relação entre a velocidade de saída da água e a taxa de variação do nível da água no funil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade com que o nível da água está caindo ( ) está relacionada com a velocidade de saída da água ( ). A taxa de diminuição do nível da água depende da área da seção transversal do funil em função de . Supondo que o funil seja de forma cônica, a área da seção transversal pode ser proporcional a .

Passo 3

A relação entre a velocidade de saída da água e a taxa de variação do nível da água pode ser expressa pela equação de conservação de massa:
V = dydt times A(y)
Isolando dydt = VA(y) :
Assumindo que , onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 4

Substituindo a expressão de dydt = 3 e^-0,05 tk y^2 na equação:
3 e^-0,05 times 0 = 3 = dydt times k (200)^2
Agora, precisamos determinar a constante 3 = dydt times k times 40000 . Usamos a condição inicial k times dydt = 340000 e :
Podemos resolver para :

Passo 5

Agora, queremos encontrar dydt = 3 e^-0,05 tk (100)^2 quando dydt = 340000 k . Assumindo que dydt = 3 e^-0,05 tk times 10000 permanece constante, substituímos os valores:
Como já temos , podemos simplificar:
E substituindo :
Isso mostra que depende do tempo quando .

Resposta

A velocidade média com que o nível de água está caindo no instante em que dydt = 3 e^-0,05 tk times 10000 , mm/s é dada por
onde é a constante de proporcionalidade da área da seção transversal do funil.

Exercícios relacionados