IFPB - Curso: Eng. Elétrica Disciplina: Fenômenos de Transportes. Prof. Jesus Medeiros Data:25/09/2024 Aluno:
  1. Uma forma esférica oca é usada para determinar a condutividade dos materiais. O diâmetro interno é de 20 cm e o diâmetro externo é de 50 cm . Um aquecedor de 30 W é colocado dentro e sob condições estáveis e regime permanente, as temperaturas nos raios de 15 e 20 cm foram de 80 e 60^circ C. Determine a condutividade térmica do material. Encontre também a temperatura externa. Se a vizinhança estiver a 30^circ C, determine o coeficiente de transferência de calor por convecção sobre a superfície.
    (30 PONTOS)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca feita de um material cujo diâmetro interno é de 20 cm e o externo é de 50 cm. Um aquecedor de 30 W está dentro dessa esfera, e em duas posições diferentes (em raios de 15 cm e 20 cm) as temperaturas mediram 80°C e 60°C, respectivamente. Queremos determinar:
  1. A condutividade térmica ( ) do material.
  2. A temperatura na superfície externa da esfera.
  3. O coeficiente de transferência de calor por convecção ( ) na superfície, sabendo que a temperatura ambiente é de 30°C.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em geometria esférica e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a condutividade térmica ( Q = 4 pi k (T1 - T2)1r1 - 1r2 ) do material usando a lei da condução de calor para uma esfera oca. A fórmula para o fluxo de calor ( k = Q ( 1r1 - 1r2 )4 pi (T1 - T2) ) através de uma esfera é:
k = 30 ( 10,15 - 10,20 )4 pi (80 - 60)
onde:
  • 10,15 - 10,20 = 40,60 - 30,60 = 10,60 = 53 é a potência do aquecedor (30 W),
  • k = 30 times 534 pi times 20 = 5080 pi = 58 pi approx 0,199,W/(m cdot K) e são as temperaturas em dois raios diferentes,
  • e são os raios correspondentes.
Dados:
  • em
  • em
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar :
Substituindo os valores:
Calculando os termos:
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a temperatura na superfície externa da esfera ( Q = Qcondução + Qconvecção ). Sabemos que há transferência de calor por condução até a superfície externa e, daí, por convecção para o ambiente.
A potência do aquecedor é igual à soma do fluxo de calor pela condução e pela convecção:
çãçã
Como já calculamos çã até , precisamos calcular çã, pois estamos em regime permanente.
Portanto, a temperatura externa ( ) pode ser calculada considerando que todo o calor conduzido será transferido por convecção para o ambiente.

Passo 4

Vamos usar a lei de resfriamento de Newton para calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção ( Q = h cdot A cdot (Texterna - Tambiente) ):
A = 4 pi rexterna^2 = 4 pi (0,25)^2 = 4 pi times 0,0625 = 0,25 pi,m^2
onde:
  • h = QA (Texterna - Tambiente) é a área da superfície externa da esfera,
  • Texterna = T2 - Q ( 1r2 - 1rexterna )4 pi k .
Primeiro, encontramos a área da esfera externa:
Texterna = 60 - 30 ( 10,20 - 10,25 )4 pi times 0,199
Sabendo que 10,20 - 10,25 = 5 - 4 = 1 e rearranjando para Texterna = 60 - 30 times 14 pi times 0,199 approx 60 - 302,503 approx 60 - 11,99 approx 48,01°C :
h = 300,25 pi times (48,01 - 30) approx 300,25 pi times 18,01 approx 3014,129 approx 2,12,W/(m^2 cdot K)
Precisamos determinar . Sabemos que a condução até resulta em 60°C. Portanto, assumindo condução contínua, a temperatura externa será:
Substituindo os valores:
Calculando os termos:
Então:
Agora, calculamos :

Resposta

A condutividade térmica do material é aproximadamente . A temperatura externa da esfera é cerca de e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície é aproximadamente .

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