1. Uma haste curta de seção quadrada de 10 mm de aresta feita de aço de baixo carbono projeta-se no ar a 35^circ C de uma parede de forno a 200^circ C e a outra extremidade é adiabática.
    O coeficiente de transferência de calor por convecção é estimado em 22 W / m^2 K. A condutividade do material é de 50 W / mK. Determine o local a partir da parede em que a temperatura será de 100^circ C. Calcule também a temperatura a 30 mm da base. L=130 mm
    (20 PONTOS)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos uma haste de aço com seção quadrada de 10 mm de lado que se projeta para o ar a 35°C de uma parede de forno que está a 200°C. A outra extremidade da haste não troca calor com o ambiente (adiabática). Queremos descobrir onde, a partir da parede, a temperatura da haste será de 100°C e também calcular a temperatura que está a 30 mm da base da haste. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor se transfere por condução na haste e por convecção da superfície para o ar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área de transferência de calor por condução pela haste. A condutividade térmica (k) do aço de baixo carbono é de 50 W/m·K. Como a haste tem uma seção quadrada de 10 mm de lado, vamos converter para metros: 10 mm = 0,01 m. A área da seção transversal (A) é:
A = lado times lado = (0,01, m) times (0,01, m) = 1 times 10^-4, m^2

Passo 3

Agora, vamos considerar a transferência de calor por convecção da superfície da haste para o ar. O coeficiente de transferência de calor por convecção (h) é 22 W/m²·K. A haste tem duas faces laterais (já que uma extremidade está na parede e a outra é adiabática). Cada face lateral tem comprimento L = 130 mm = 0,13 m e largura de 10 mm = 0,01 m. A área total de convecção § é:
P = número, de, faces times (comprimento times largura) = 2 times (0,13, m times 0,01, m) = 0,0026, m^2 ú

Passo 4

Para encontrar a posição onde a temperatura é 100°C, vamos usar a equação de transferência de calor em regime estacionário com condição de convecção na superfície:
d^2 Tdx^2 - hPkA (T - Tinfty) = 0
Onde:
  • T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^hPkAx é a temperatura na posição x
  • é a temperatura do ar (35°C)
Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é:
Onde é a temperatura na parede (200°C).

Passo 5

Primeiro, calculamos o parâmetro hPkA = 22, W/m^2K times 0,0026, m^250, W/mK times 1 times 10^-4, m^2 = 0,0572, W/K0,005, W/K = 11,44, m^-1 :

Passo 6

Agora, temos a expressão da temperatura ao longo da haste:
T(x) = 35,°C + (200,°C - 35,°C) e^-11,44,x
Queremos encontrar x onde 100 = 35 + 165 e^-11,44,x :
65 = 165 e^-11,44,x
Subtraindo 35 de ambos os lados:
65165 = e^-11,44,x
Dividindo ambos os lados por 165:
0,3939 = e^-11,44,x

Passo 7

Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para resolver para x:
ln(0,3939) = -11,44,x
Calculando o ln de 0,3939:
-0,931 = -11,44,x
Dividindo ambos os lados por -11,44:
x = 0,93111,44 approx 0,081, m = 81, mm

Passo 8

Agora, vamos calcular a temperatura a 30 mm da base da haste. Já temos a expressão geral:
T(x) = 35 + 165 e^-11,44,x
Substituindo x = 30 mm = 0,03 m:
T(0,03) = 35 + 165 e^-11,44 times 0,03
Calculando o expoente:
-11,44 times 0,03 = -0,3432
Calculando e^-0,3432 approx 0,709 :
T(0,03) = 35 + 165 times 0,709 approx 35 + 116,98 = 151,98,°C
Então:

Resposta

A temperatura de 100°C ocorre a aproximadamente 81 mm a partir da parede. A temperatura a 30 mm da base da haste é de cerca de 152°C.

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    (30 PONTOS)
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