A agulha de uma bússola tem o comprimento de 3 cm , raio de 0.85 mm e densidade 7,96 times 10^3 kg / m^3. A agulha pode girar num plano horizontal, num local onde a componente horizontal do campo magnético da terra é 0,6 G. Quando perturbada ligeiramente, a agulha efetua um movimento harmônico simples em torno da sua posição de equilibrio, com a frequềncia de 1,4 Hz. (a) Qual o momento magnético da agulha? (b) Qual a sua magnetização M? © Qual a corrente de Ampère na superficie da agulha? (Ver problema 31.)

Passo 1

Vamos resolver este exercício sobre o movimento de uma agulha de bússola que oscila harmonicamente. Vamos precisar usar conceitos de magnetismo, momentos de inércia e movimento harmônico simples. Para isso, vamos calcular o momento magnético da agulha, sua magnetização e a corrente de Ampère na superfície da agulha.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a massa da agulha. Sabemos que a densidade ( r = 0,85 , mm = 0,00085 , m ) é L = 3 , cm = 0,03 , m , o raio ( V = pi r^2 L ) é 0,85 mm e o comprimento ( V = pi (0,00085)^2 times 0,03 approx 6,81 times 10^-7 , m^3 ) é 3 cm.
Convertendo as unidades para metros:
m = rho V = 7,96 times 10^3 times 6,81 times 10^-7 approx 0,00542 , kg
O volume ( ) da agulha, que é cilíndrica, é dado por:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos a massa ( ):

Passo 3

Com a massa, podemos calcular o momento de inércia ( I = 112 m L^2 ) da agulha. Para uma haste fina girando em torno do seu centro, a fórmula é:
I = 112 times 0,00542 times (0,03)^2 approx 4,066 times 10^-6 , kg cdot m^2
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos utilizar a frequência do movimento harmônico simples para encontrar o momento magnético ( B = 0,6 , G = 0,6 times 10^-4 , T ). A frequência ( f = 12pi raizmu BI ) é 1,4 Hz e a componente do campo magnético da Terra ( mu = (2pi f)^2 IB ) é 0,6 G, que convertendo para Tesla fica:
mu = (2pi times 1,4)^2 times 4,066 times 10^-60,6 times 10^-4 approx 3,99 times 10^-3 , A cdot m^2
A relação entre a frequência e os parâmetros do sistema é dada por:
Podemos rearranjar para encontrar :
Substituindo os valores:

Resposta

O momento magnético da agulha é aproximadamente .

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