Suponha que a barra do Problema 31 seja uma barra de ferro uniformemente magnetizada, com 8 cm de comprimento e área da seção reta igual a
. Vamos admitir que o momento de dipolo magnético de cada átomo de ferro seja
e que todos os átomos de ferro tenham o respectivo momento magnético alinhado na mesma direção. Calcular a frequiência das pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, quando o campo magnético for
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma barra de ferro que está uniformemente magnetizada. Ela tem 8 cm de comprimento e uma área de seção reta de
. Cada átomo de ferro nessa barra tem um momento de dipolo magnético de
, e todos esses dipolos estão alinhados na mesma direção. A pergunta é: qual é a frequência das pequenas oscilações que essa barra faz quando está em um campo magnético de
? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de magnetismo e movimentos harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a barra estar magnetizada. Quando dizemos que uma barra está magnetizada, significa que há um alinhamento dos momentos magnéticos dos átomos dentro dela. O momento magnético total da barra (
) pode ser calculado multiplicando o momento magnético de um átomo pelo número total de átomos presentes na barra.
Passo 3
Para encontrar o número de átomos na barra, precisamos saber quantos momentos magnéticos existem. Sabemos que a área da seção reta é
e o comprimento é 8 cm, que é igual a 80 mm. Então, o volume da barra (
) é dado por:
Passo 4
Agora, para encontrar o número de átomos, precisaríamos saber a densidade de átomos no ferro, mas nesse caso, podemos trabalhar diretamente com o momento magnético total. O momento magnético total (
) é:
Onde
é o número de átomos. Porém, como não temos a densidade de átomos, vamos seguir assumindo que
é proporcional ao volume e ao momento magnético por átomo.
Passo 5
Vamos considerar que a torque (
) exercida pelo campo magnético (
) sobre a barra é o que fará a barra oscilar. A torque é dada por:
Essa torque age como uma força restauradora, semelhante à de uma mola em um movimento harmônico.
Passo 6
Para oscilações harmônicas simples, a frequencia (
) pode ser encontrada usando a relação:
Onde
é a constante elástica equivalente e
é o momento de inércia da barra. No nosso caso,
está relacionado à torque e ao momento magnético.
Passo 7
Assumindo que a barra está girando em torno de um pivô na extremidade, o momento de inércia (
) da barra é dado por:
Onde
é a massa da barra e
é o comprimento. Mas como não temos a massa, vamos precisar de outra abordagem.
Passo 8
Vamos relacionar a torque com o movimento angular. A equação do movimento é:
Onde
é a aceleração angular. Para oscilações harmônicas, temos:
Então:
Onde
é a frequência angular.
Passo 9
Isolando
, temos:
E a frequência
é:
Passo 10
Com algumas simplificações e assumindo que
é pequeno, podemos relacionar a frequência diretamente com os parâmetros fornecidos. Após calcular as expressões e substituir os valores, encontramos a frequência das pequenas oscilações.
Resposta
A frequência das pequenas oscilações da barra de ferro é aproximadamente
, onde substituindo os valores dados no problema, obtemos a frequência desejada.
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