Use lei de Gauss para escrever a magnitude do campo elétrico E em função da distância r ao centro de simetria em função da carga Q int .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Lei de Gauss. A questão pede para encontrar a magnitude do campo elétrico em função da distância ao centro de simetria, usando a carga interna . Para isso, vamos precisar entender o que é a Lei de Gauss e como aplicá-la a situações com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela permissividade do vácuo ( PhiE = oint E cdot dA = Qintvarepsilon0 ):
O fluxo elétrico representa a quantidade de campo elétrico passando através da superfície.

Passo 3

Como temos uma simetria esférica, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio centrada no mesmo ponto de simetria. Nessa situação, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície e é perpendicular a ela.

Passo 4

Calculamos o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. Como PhiE = E cdot 4pi r^2 é constante na superfície e aponta na direção de , podemos simplificar a integral:
Aqui, é a área da esfera.

Passo 5

Agora, igualamos o fluxo elétrico à carga interna dividida por E cdot 4pi r^2 = Qintvarepsilon0 conforme a Lei de Gauss:
Essa equação relaciona o campo elétrico com a distância e a carga interna .

Passo 6

Para encontrar E = Qint4pi varepsilon0 r^2 , isolamos a variável na equação:
Essa é a expressão para a magnitude do campo elétrico em função de .

Resposta

A magnitude do campo elétrico E = Qint4pi varepsilon0 r^2 em função da distância é:

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