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Texto da questão

Qual é a velocidade de escape de um elétron inicialmente em repouso na superfície de uma esfera com 1,0 cm de raio e uma carga uniformemente distribuída de 1,6 times 10^-15 C ? Em outras palavras, que velocidade inicial um elétron deve ter para chegar a uma distância infinita da esfera com energia cinética zero?
a.
5,93 times 108 m / s 5,93 times 108 m / s
b.
5,62 times 105 m / s 5,62 times 105 m / s
c.
0,24 m / s 0,24 m / s
d.
2,25 times 104 m / s

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a velocidade de escape de um elétron. A gente tem uma esfera com raio de 1,0 cm e uma carga distribuída uniformemente de C. Queremos descobrir qual a velocidade que o elétron precisa ter para escapar dessa esfera e chegar ao infinito com energia cinética zero. Vamos usar conceitos de energia cinética e energia potencial elétrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade de escape. É a velocidade mínima que um objeto precisa ter para escapar da atração gravitacional (ou elétrica, no nosso caso) sem precisar de mais energia. Aqui, estamos falando da força elétrica entre a esfera carregada e o elétron.

Passo 3

Para achar essa velocidade, vamos usar a conservação da energia. A energia cinética inicial do elétron mais a energia potencial elétrica inicial deve ser igual à energia cinética final mais a energia potencial final. Como queremos que o elétron chegue ao infinito com energia cinética zero, a equação fica:
KEinicial + PEinicial = 0
Isso significa que toda a energia cinética inicial será convertida em energia potencial elétrica.

Passo 4

A energia cinética ( KE = 12 m v^2 ) do elétron é dada por:
PE = k Q qr
E a energia potencial elétrica ( ) entre a esfera e o elétron é:
Onde:
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • é a carga da esfera ( ),
  • é a carga do elétron ( ; vamos usar o valor absoluto),
  • é o raio da esfera ( ),
  • é a massa do elétron ( ),
  • é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 5

Igualando as energias, temos:
12 m v^2 = k Q qr
Agora, vamos isolar v = raiz2 k Q qm r :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
v = raiz2 times 8,988 times 10^9 times 1,6 times 10^-15 times 1,6 times 10^-199,109 times 10^-31 times 0,01
Primeiro, calculamos o numerador:
2 times 8,988 times 10^9 times 1,6 times 10^-15 times 1,6 times 10^-19 = 2 times 8,988 times 1,6 times 1,6 times 10^9 -15 -19 = 2 times 8,988 times 2,56 times 10^-25 approx 46,05 times 10^-25
Agora, o denominador:
9,109 times 10^-31 times 0,01 = 9,109 times 10^-33
Dividindo:
46,05 times 10^-259,109 times 10^-33 approx 5,06 times 10^8
Agora, tiramos a raiz quadrada:
v = raiz5,06 times 10^8 approx 2,25 times 10^4 , m/s

Resposta

A velocidade de escape do elétron é aproximadamente . Portanto, a opção correta é a letra d.

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