Circuito LCR: Considere um circuito formado por um indutor, um capacitor e um resistor. A energia armazenada pelos campos elétrico e magnético são escritas, respectivamente, como
e
, onde
é a carga elétrica,
é a capacitância,
é a indutância e a corrente é dada por
. Neste tipo de circuito, a energia eletromagnética passa a ser dissipada na forma de calor a uma taxa dada por
, onde
é a resistência. Qual é a equação diferencial que descreve o circuito
? Discuta uma analogia entre esse circuito e o oscilador amortecido. Qual é a frequência de amortecimento do circuito em termos de
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito LCR, que é formado por um indutor (L), um capacitor © e um resistor ®. A gente precisa encontrar a equação diferencial que descreve esse circuito e também discutir uma analogía com o oscilador amortecido, além de descobrir a frequência de amortecimento do circuito em termos de
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre energia em circuitos elétricos e como ela se relaciona com os componentes do circuito. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as energias armazenadas no capacitor e no indutor. A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é dada por:
E a energia no campo magnético do indutor é:
Aqui,
é a carga elétrica no capacitor,
é a capacitância,
é a indutância e
é a corrente, que é a derivada da carga em relação ao tempo:
.
Passo 3
No circuito LCR, a energia eletromagnética não fica apenas armazenada; ela também se dissipa na forma de calor no resistor. A taxa de dissipação de energia é dada por:
Aqui,
é a resistência. O sinal negativo indica que a energia está sendo perdida.
Passo 4
Agora, vamos somar as energias armazenadas no capacitor e no indutor para obter a energia total do circuito:
Substituindo
, temos:
Passo 5
Derivando a energia total em relação ao tempo, temos:
Sabemos também que essa taxa de variação da energia é igual à energia dissipada:
Então, igualando as duas expressões:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
(assumindo que
):
Rearranjando os termos, obtemos a equação diferencial que descreve o circuito LCR:
Passo 7
Agora, vamos fazer uma analogia com um oscilador amortecido mecânico. No caso do oscilador, temos uma massa, uma mola e um amortecedor. A equação da segunda ordem para o movimento é:
Comparando com nossa equação do circuito LCR:
Ou seja, o indutor
é como a massa, o resistor
é como o amortecedor, e
atua como a constante da mola
. Assim, o circuito LCR se comporta de forma análoga a um oscilador amortecido.
Passo 8
Por fim, vamos determinar a frequência de amortecimento do circuito. No oscilador amortecido, a frequência de amortecimento é dada por:
onde
é a frequência natural e
é a taxa de amortecimento.
Substituindo, temos:
Portanto, a frequência de amortecimento do circuito LCR em termos de
,
e
é:
Resposta
A equação diferencial que descreve o circuito LCR é
. Esse circuito é análogo a um oscilador amortecido, onde a frequência de amortecimento é
.
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descreve uma onda harmônica que se propaga em uma corda de densidade linear
e que está sujeita a uma tensão de 90 N . Calcule o comprimento de onda e o período dessa onda.
Ainda não respondida
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Texto da questão
Qual é a velocidade de escape de um elétron inicialmente em repouso na superfície de uma esfera com
de raio e uma carga uniformemente distribuída de 1,6
? Em outras palavras, que velocidade inicial um elétron deve ter para chegar a uma distância infinita da esfera com energia cinética zero?
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
(4 pontos) Aplicando a lei de Ampère, mostre como determinar $campo magnético no plano
(em vetor) gerado pelo fio conduzindo corrente
.
(3 pontos) Se a corrente varia em tempo como
onde
e
são constantes, etermine-uforca eletromotriz (FEM) induzida na espira condutora. Determine o sentido da arato induzida quando
.