Circuito LCR: Considere um circuito formado por um indutor, um capacitor e um resistor. A energia armazenada pelos campos elétrico e magnético são escritas, respectivamente, como e , onde é a carga elétrica, é a capacitância, é a indutância e a corrente é dada por . Neste tipo de circuito, a energia eletromagnética passa a ser dissipada na forma de calor a uma taxa dada por , onde é a resistência. Qual é a equação diferencial que descreve o circuito ? Discuta uma analogia entre esse circuito e o oscilador amortecido. Qual é a frequência de amortecimento do circuito em termos de e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito LCR, que é formado por um indutor (L), um capacitor © e um resistor ®. A gente precisa encontrar a equação diferencial que descreve esse circuito e também discutir uma analogía com o oscilador amortecido, além de descobrir a frequência de amortecimento do circuito em termos de , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre energia em circuitos elétricos e como ela se relaciona com os componentes do circuito. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as energias armazenadas no capacitor e no indutor. A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é dada por:
E a energia no campo magnético do indutor é:
Aqui, é a carga elétrica no capacitor, é a capacitância, é a indutância e é a corrente, que é a derivada da carga em relação ao tempo: .

Passo 3

No circuito LCR, a energia eletromagnética não fica apenas armazenada; ela também se dissipa na forma de calor no resistor. A taxa de dissipação de energia é dada por:
Aqui, é a resistência. O sinal negativo indica que a energia está sendo perdida.

Passo 4

Agora, vamos somar as energias armazenadas no capacitor e no indutor para obter a energia total do circuito:
Substituindo , temos:

Passo 5

Derivando a energia total em relação ao tempo, temos:
Sabemos também que essa taxa de variação da energia é igual à energia dissipada:
Então, igualando as duas expressões:

Passo 6

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Rearranjando os termos, obtemos a equação diferencial que descreve o circuito LCR:

Passo 7

Agora, vamos fazer uma analogia com um oscilador amortecido mecânico. No caso do oscilador, temos uma massa, uma mola e um amortecedor. A equação da segunda ordem para o movimento é:
Comparando com nossa equação do circuito LCR:
Ou seja, o indutor é como a massa, o resistor é como o amortecedor, e atua como a constante da mola . Assim, o circuito LCR se comporta de forma análoga a um oscilador amortecido.

Passo 8

Por fim, vamos determinar a frequência de amortecimento do circuito. No oscilador amortecido, a frequência de amortecimento é dada por:
onde é a frequência natural e é a taxa de amortecimento.
Substituindo, temos:
Portanto, a frequência de amortecimento do circuito LCR em termos de , e é:

Resposta

A equação diferencial que descreve o circuito LCR é . Esse circuito é análogo a um oscilador amortecido, onde a frequência de amortecimento é .

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Texto da questão

Qual é a velocidade de escape de um elétron inicialmente em repouso na superfície de uma esfera com de raio e uma carga uniformemente distribuída de 1,6 ? Em outras palavras, que velocidade inicial um elétron deve ter para chegar a uma distância infinita da esfera com energia cinética zero?
a.

b.

c.

d.
(4 pontos) Aplicando a lei de Ampère, mostre como determinar $campo magnético no plano (em vetor) gerado pelo fio conduzindo corrente .
(3 pontos) Se a corrente varia em tempo como onde e são constantes, etermine-uforca eletromotriz (FEM) induzida na espira condutora. Determine o sentido da arato induzida quando .