Circuito LCR: Considere um circuito formado por um indutor, um capacitor e um resistor. A energia armazenada pelos campos elétrico e magnético são escritas, respectivamente, como UE=q^2 / 2 C e UB=L i^2 / 2, onde q é a carga elétrica, C é a capacitância, L é a indutância e a corrente é dada por i=d q / d t. Neste tipo de circuito, a energia eletromagnética passa a ser dissipada na forma de calor a uma taxa dada por d U / d t=-i^2 R, onde R é a resistência. Qual é a equação diferencial que descreve o circuito L C R ? Discuta uma analogia entre esse circuito e o oscilador amortecido. Qual é a frequência de amortecimento do circuito em termos de L, C e R ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito LCR, que é formado por um indutor (L), um capacitor © e um resistor ®. A gente precisa encontrar a equação diferencial que descreve esse circuito e também discutir uma analogía com o oscilador amortecido, além de descobrir a frequência de amortecimento do circuito em termos de , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre energia em circuitos elétricos e como ela se relaciona com os componentes do circuito. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as energias armazenadas no capacitor e no indutor. A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é dada por:
UE = q^22C
E a energia no campo magnético do indutor é:
UB = L i^22
Aqui, é a carga elétrica no capacitor, é a capacitância, é a indutância e é a corrente, que é a derivada da carga em relação ao tempo: .

Passo 3

No circuito LCR, a energia eletromagnética não fica apenas armazenada; ela também se dissipa na forma de calor no resistor. A taxa de dissipação de energia é dada por:
dUdt = -i^2 R
Aqui, é a resistência. O sinal negativo indica que a energia está sendo perdida.

Passo 4

Agora, vamos somar as energias armazenadas no capacitor e no indutor para obter a energia total do circuito:
U = UE + UB = q^22C + L i^22
Substituindo U = q^22C + L2 ( dqdt )^2 , temos:

Passo 5

Derivando a energia total em relação ao tempo, temos:
dUdt = qC dqdt + L dqdt d^2qdt^2
Sabemos também que essa taxa de variação da energia é igual à energia dissipada:
dUdt = -R ( dqdt )^2
Então, igualando as duas expressões:
qC dqdt + L dqdt d^2qdt^2 = -R ( dqdt )^2

Passo 6

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por qC + L d^2qdt^2 = -R dqdt (assumindo que L d^2qdt^2 + R dqdt + qC = 0 ):
Rearranjando os termos, obtemos a equação diferencial que descreve o circuito LCR:

Passo 7

Agora, vamos fazer uma analogia com um oscilador amortecido mecânico. No caso do oscilador, temos uma massa, uma mola e um amortecedor. A equação da segunda ordem para o movimento é:
m d^2xdt^2 + b dxdt + kx = 0
Comparando com nossa equação do circuito LCR:
L rightarrow m, R rightarrow b, 1C rightarrow k
Ou seja, o indutor é como a massa, o resistor é como o amortecedor, e atua como a constante da mola . Assim, o circuito LCR se comporta de forma análoga a um oscilador amortecido.

Passo 8

Por fim, vamos determinar a frequência de amortecimento do circuito. No oscilador amortecido, a frequência de amortecimento é dada por:
omegad = raizomega0^2 - ( gamma2 )^2
onde omegad = raiz( 1raizLC )^2 - ( R2L )^2 = raiz1LC - R^24L^2 é a frequência natural e omegad = raiz1LC - R^24L^2 é a taxa de amortecimento.
Substituindo, temos:
Portanto, a frequência de amortecimento do circuito LCR em termos de , e é:

Resposta

A equação diferencial que descreve o circuito LCR é . Esse circuito é análogo a um oscilador amortecido, onde a frequência de amortecimento é .

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