Para ajustar a uma máquina a correia deve ter entre 60 a 62 cm de comprimento. Tendo em vista o processo de fabricação, o comprimento dessas correias pode ser considerado como uma variável aleatória com modelo Normal de média 60,2 cm e desvio padrão 0,8 cm. Pergunta-se
(a) Qual é a probabilidade de uma correia, escolhida ao acaso, poder ser usada na máquina?
(b) Um grande revendedor dessas correias estabelece um controle de qualidade nos lotes que compra da fábrica: ele sorteia 4 correias do lote e só aceita o lote se o comprimento médio estiver dentro do tamanho aceito pela máquina. Calcule a probabilidade de aceitação do lote.
R. (a)0,5865 (b) 0,6915.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma situação envolvendo correias com comprimento que varia de 60 a 62 cm para serem usadas em uma máquina. Sabemos que o comprimento dessas correias segue uma distribuição Normal com média de 60,2 , cm e desvio padrão de 0,8 , cm. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição Normal para resolver as partes (a) e (b) do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos abordar a parte (a): Qual é a probabilidade de uma correia, escolhida ao acaso, poder ser usada na máquina? Isso significa que queremos saber a probabilidade de uma correia ter um comprimento entre 60 e 62 cm.
Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição Normal. A distribuição Normal é uma curva simétrica onde a maioria dos valores se concentra ao redor da média. A probabilidade de um valor cair dentro de um intervalo específico pode ser encontrada usando a tabela da distribuição Normal ou funções de cálculo apropriadas.

Passo 3

Vamos padronizar os valores para usar a tabela da distribuição Normal padrão (Z). A padronização é feita usando a fórmula:
Z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que queremos padronizar,
  • mu é a média,
  • sigma é o desvio padrão.
No nosso caso, mu = 60,2 , cm e sigma = 0,8 , cm.

Passo 4

Vamos calcular o valor de Z para X = 60 , cm:
Z1 = 60 - 60,20,8 = -0,20,8 = -0,25
E para X = 62 , cm:
Z2 = 62 - 60,20,8 = 1,80,8 = 2,25

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z estar entre -0,25 e 2,25. Isso é representado como P(-0,25 <= Z <= 2,25).
Consultando a tabela da distribuição Normal padrão, encontramos:
  • P(Z <= -0,25) approx 0,4013
  • P(Z <= 2,25) approx 0,9878

Passo 6

A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(-0,25 <= Z <= 2,25) = P(Z <= 2,25) - P(Z <= -0,25) approx 0,9878 - 0,4013 = 0,5865

Passo 7

Portanto, a probabilidade de uma correia, escolhida ao acaso, ser adequada para a máquina é de aproximadamente 58,65%.

Resposta

(a) A probabilidade é de aproximadamente 0,5865 ou 58,65%.

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