Sejam
uma amostra aleatória simples, extraída de uma população cuja função de densidade de probabilidade é:
Calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma amostra de 35 elementos, $ X_1, X_2, ···, X_{35} $, que vem de uma população com uma função de densidade de probabilidade dada por:
Queremos calcular a probabilidade de que a média da amostra, $ \bar{X} $, esteja entre -0,5 e 2, ou seja, $ P(-0,5 \leq \bar{X} \leq 2) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística descritiva e teoria das amostras, especificamente o Teorema Central do Limite, que nos ajuda a entender como a média da amostra se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média ($ \mu
\sigma^{2} $) da população. A média $ \mu $ de uma distribuição simétrica em torno de zero é zero, então:
Agora, vamos calcular a variância. A variância é uma medida de quão dispersos os valores estão em torno da média. Para a nossa função de densidade dada, a variância é:
Mas, para simplificar, já sabemos que $ \sigma^{2} = 2,4592 $.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a média da amostra ($ \bar{X} $). Quando temos uma amostra de tamanho $ n $, a média da amostra também tem uma distribuição, chamada de distribuição amostral da média.
Segundo o Teorema Central do Limite, se o tamanho da amostra for grande o suficiente, a distribuição da média da amostra $ \bar{X} $ será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. No nosso caso, $ n = 35 $ é suficientemente grande para aplicar esse teorema.
A média da distribuição amostral será a mesma que a média da população ($ \mu = 0
\sigma^{2}/n $):
E o desvio padrão da média da amostra ($ \sigma_{\bar{X}} $) será a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Agora, queremos calcular a probabilidade de que $ \bar{X} $ esteja entre -0,5 e 2. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a transformação Z, que nos permite usar a tabela da distribuição normal padrão.
A fórmula para padronizar é:
Vamos calcular para os limites inferior (-0,5) e superior (2):
Para $ \bar{X} = -0,5 $:
Para $ \bar{X} = 2 $:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que $ Z $ esteja entre -1,8868 e 7,5472. Na prática, a probabilidade de $ Z $ ser maior que 7,5472 é praticamente 0, então focaremos na probabilidade de $ Z $ estar entre -1,8868 e infinito.
Usando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos:
Então, a probabilidade desejada é:
Resposta
A probabilidade de $ -0,5 \leq \bar{X} \leq 2 $ é aproximadamente 0,9706.