Suponha que a proporção de peças fora de especificação em um lote é 40 %. Tomada uma amostra de tamanho 30.
(a) Calcule a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor que 0,5 , usando o modelo Binomial.
(b) Calcule a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor que 0,5 , usando o TCL.
R. (a)0,8246 (b) 0,8238.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde 40% das peças de um lote estão fora de especificação. Queremos analisar uma amostra de 30 peças. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade, especificamente os modelos Binomial e o Teorema Central do Limite (TCL). Vamos calcular a probabilidade de encontrar menos de 50% de peças defeituosas nessa amostra usando esses dois métodos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma proporção de peças defeituosas menor que 0,5 na amostra. Com uma amostra de 30 peças, 0,5 disso é 15 peças. Então, queremos saber a probabilidade de ter menos de 15 peças defeituosas nessa amostra.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a), usando o modelo Binomial. A distribuição Binomial é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas opções (sucesso ou fracasso). No nosso caso, cada peça pode estar defeituosa (sucesso) ou não (fracasso).

Passo 4

Na distribuição Binomial, usamos os parâmetros $ n $ (número de tentativas) e $ p $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa). Aqui, $ n = 30 $ e $ p = 0,4 $ (já que 40% das peças estão defeituosas).

Passo 5

Queremos calcular a probabilidade de ter menos de 15 peças defeituosas, ou seja, $ P(X < 15) $, onde $ X $ é o número de peças defeituosas. Como $ X $ é binomial, a probabilidade é a soma das probabilidades de $ X = 0 $ até $ X = 14 $:
P(X < 15)
Essa soma pode ser calculada usando uma calculadora ou software estatístico, resultando em aproximadamente 0,8246.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) usando o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL nos diz que, para amostras grandes, a distribuição da média amostral será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja.

Passo 7

Primeiro, calculamos a média ($ \mu mu ã \sigma $) da distribuição binomial:
sigma
mu = n cdot p = 30 cdot 0,4 = 12
Como estamos lidando com a proporção, dividimos esses valores por $ n $:
sigma = raizn cdot p cdot (1 - p) = raiz30 cdot 0,4 cdot 0,6 approx 2,683
n

Passo 8

Queremos a probabilidade de a proporção ser menor que 0,5. Primeiro, transformamos isso em um escore z:
z = 0,5 - 0,40,0894 approx 1,117
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a $ z = 1,117 $, que é aproximadamente 0,8238.

Resposta

(a) 0,8246
(b) 0,8238

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