Suponha que a proporção de peças fora de especificação em um lote é
. Tomada uma amostra de tamanho 30.
(a) Calcule a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor que 0,5 , usando o modelo Binomial.
(b) Calcule a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor que 0,5 , usando o TCL.
R. (a)0,8246 (b) 0,8238.
(a) Calcule a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor que 0,5 , usando o modelo Binomial.
(b) Calcule a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor que 0,5 , usando o TCL.
R. (a)0,8246 (b) 0,8238.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde 40% das peças de um lote estão fora de especificação. Queremos analisar uma amostra de 30 peças. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade, especificamente os modelos Binomial e o Teorema Central do Limite (TCL). Vamos calcular a probabilidade de encontrar menos de 50% de peças defeituosas nessa amostra usando esses dois métodos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma proporção de peças defeituosas menor que 0,5 na amostra. Com uma amostra de 30 peças, 0,5 disso é 15 peças. Então, queremos saber a probabilidade de ter menos de 15 peças defeituosas nessa amostra.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a), usando o modelo Binomial. A distribuição Binomial é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas opções (sucesso ou fracasso). No nosso caso, cada peça pode estar defeituosa (sucesso) ou não (fracasso).
Passo 4
Na distribuição Binomial, usamos os parâmetros $ n $ (número de tentativas) e $ p $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa). Aqui, $ n = 30 $ e $ p = 0,4 $ (já que 40% das peças estão defeituosas).
Passo 5
Queremos calcular a probabilidade de ter menos de 15 peças defeituosas, ou seja, $ P(X < 15) $, onde $ X $ é o número de peças defeituosas. Como $ X $ é binomial, a probabilidade é a soma das probabilidades de $ X = 0 $ até $ X = 14 $:
Essa soma pode ser calculada usando uma calculadora ou software estatístico, resultando em aproximadamente 0,8246.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) usando o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL nos diz que, para amostras grandes, a distribuição da média amostral será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja.
Passo 7
Primeiro, calculamos a média ($ \mu
\sigma $) da distribuição binomial:
Como estamos lidando com a proporção, dividimos esses valores por $ n $:
Passo 8
Queremos a probabilidade de a proporção ser menor que 0,5. Primeiro, transformamos isso em um escore z:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a $ z = 1,117 $, que é aproximadamente 0,8238.
Resposta
(a) 0,8246
(b) 0,8238