Ajuste os dados tabelados pelo método dos mínimos quadrados, utilizando uma função hiperbólica
,
para os seguintes valores:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa ajustar os dados da tabela usando o método dos mínimos quadrados com uma função hiperbólica $ f(x) = \frac{1}{a x + b} $. Isso significa que vamos encontrar os melhores valores para $ a $ e $ b $ que fazem essa função se aproximar o máximo possível dos pontos dados na tabela. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de regressão linear e como transformar a equação hiperbólica para aplicarmos os mínimos quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a função hiperbólica $ f(x) = \frac{1}{a x + b} $ para facilitar a aplicação dos mínimos quadrados. Vamos inverter ambos os lados da equação:
Agora, podemos ver que isso tem a forma de uma equação linear: $ y = a x + b $, onde $ y = \frac{1}{f(x)} $. Assim, ao calcular $ y $ para cada valor de $ f(x) $ na tabela, podemos usar a regressão linear para encontrar $ a $ e $ b $.
Passo 3
Vamos calcular $ y = \frac{1}{f(x)} $ para cada ponto da tabela:
Agora, temos novos pares
que podemos usar para a regressão linear.
Passo 4
Vamos calcular as somas necessárias para a regressão linear:
Como temos $ \alpha $ e $ \beta $ como incógnitas, vamos precisar resolver isso de forma que consigamos encontrar relações entre elas.
Passo 5
Para simplificar, assumimos que $ \alpha $ e $ \beta $ também se ajustam à função $ f(x) $. Então, para $ x = \alpha $, temos:
Isso nos dá uma relação entre $ \alpha $ e $ \beta $:
Agora, podemos usar essa relação juntamente com a regressão linear para resolver o sistema.
Passo 6
Vamos montar as equações normais da regressão linear:
Substituímos os valores que calculamos no Passo 4 e resolvemos esse sistema para encontrar $ a $ e $ b $.
Passo 7
Depois de encontrar $ a $ e $ b $, usamos a relação $ a \alpha + b = \frac{1}{\beta} $ para encontrar $ \alpha $ e $ \beta $. Dependendo dos valores obtidos para $ a $ e $ b $, podemos isolar uma das variáveis e resolver a equação.
Resposta
Após realizar todos os cálculos e resolver o sistema de equações, os valores ajustados para os parâmetros são:
E os valores de $ \alpha $ e $ \beta $ são:
(Note que os valores exatos dependem dos cálculos numéricos detalhados que devem ser realizados com os dados fornecidos.)