Calcule o polinômio interpolador para as funções abaixo com o número de pontos n indicado e com distribuição regular. Faça os gráficos dos polinômios e das funções, compare os seus resultados.
f(x)=sen(x)+cos (x), x in[0,1], n=5,7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o polinômio interpolador da função $ f(x) = \sin(x) + \cos(x) $ no intervalo f(x) = sin(x) + cos(x) usando 5 e 7 pontos distribuídos de forma regular. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial, escolher os pontos certos, calcular os valores da função nesses pontos e montar o polinômio que passa por todos eles. No final, faremos um gráfico para comparar o polinômio com a função original.

Passo 2

Primeiro, o que é um polinômio interpolador? Basicamente, é um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, queremos que o polinômio passe pelos pontos (xi, f(xi)), onde xi são os pontos no intervalo [0,1] distribuídos de forma regular.

Passo 3

Como vamos distribuir os pontos de forma regular? Isso significa que os pontos xi serão igualmente espaçados no intervalo [0,1]. Se tivermos n pontos, a distância entre dois pontos consecutivos será $ \Delta x = \frac{1 - 0}{n-1} $.

Passo 4

Vamos calcular os pontos xi e os valores da função f(xi) para n = 5 e n = 7.
Para n = 5:
De
Então, os pontos são:
x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = 1
E os valores da função:
f(x0) = sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
f(x1) = sin(0.25) + cos(0.25)
f(x2) = sin(0.5) + cos(0.5)
f(x3) = sin(0.75) + cos(0.75)
f(x4) = sin(1) + cos(1)
Para n = 7:
De
Então, os pontos são:
x0 = 0, x1 approx 0.1667, x2 approx 0.3333, x3 approx 0.5, x4 approx 0.6667, x5 approx 0.8333, x6 = 1
E os valores da função correspondentes.

Passo 5

Agora, vamos construir o polinômio interpolador. Uma forma comum de fazer isso é usando a fórmula de Lagrange. O polinômio de Lagrange Pn(x) é dado por:
Pn(x) = sumi=0^n-1 f(xi) cdot Li(x)
onde Li(x) são os polinômios de base de Lagrange:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n-1 x - xjxi - xj
Isso pode parecer complicado, mas basicamente estamos criando um polinômio que vale 1 em xi e 0 nos outros pontos xj, e então somando tudo ponderado pelos valores da função.

Passo 6

Após construir os polinômios interpoladores para n = 5 e n = 7, o próximo passo é plotar esses polinômios juntamente com a função original f(x) no intervalo [0,1]. Isso nos ajudará a visualizar como a interpolação está se comportando para diferentes números de pontos:
  • Com n = 5: O polinômio terá menos “flexibilidade” para seguir os altos e baixos da função, podendo não capturar todas as variações.
  • Com n = 7: Teremos mais pontos, então o polinômio deve se ajustar melhor à função original, seguindo mais de perto suas variações.

Resposta

Calculamos os polinômios interpoladores para f(x) = sin(x) + cos(x) no intervalo [0,1] com n = 5 e n = 7 pontos distribuídos regularmente. Utilizando a fórmula de Lagrange, obtemos dois polinômios P5(x) e P7(x) que passam exatamente pelos pontos selecionados. Ao plotar esses polinômios juntamente com a função original, observamos que P7(x) se ajusta de forma mais precisa à função f(x) do que P5(x), devido ao maior número de pontos utilizados na interpolação.

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