Calcule o polinômio interpolador para as funções abaixo com o número de pontos
indicado e com distribuição regular. Faça os gráficos dos polinômios e das funções, compare os seus resultados.
,
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o polinômio interpolador da função $ f(x) = \sin(x) + \cos(x) $ no intervalo
usando 5 e 7 pontos distribuídos de forma regular. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial, escolher os pontos certos, calcular os valores da função nesses pontos e montar o polinômio que passa por todos eles. No final, faremos um gráfico para comparar o polinômio com a função original.
Passo 2
Primeiro, o que é um polinômio interpolador? Basicamente, é um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, queremos que o polinômio passe pelos pontos
, onde
são os pontos no intervalo
distribuídos de forma regular.
Passo 3
Como vamos distribuir os pontos de forma regular? Isso significa que os pontos
serão igualmente espaçados no intervalo
. Se tivermos
pontos, a distância entre dois pontos consecutivos será $ \Delta x = \frac{1 - 0}{n-1} $.
Passo 4
Vamos calcular os pontos
e os valores da função
para
e
.
Para
:
Então, os pontos são:
E os valores da função:
Para
:
Então, os pontos são:
E os valores da função correspondentes.
Passo 5
Agora, vamos construir o polinômio interpolador. Uma forma comum de fazer isso é usando a fórmula de Lagrange. O polinômio de Lagrange
é dado por:
onde
são os polinômios de base de Lagrange:
Isso pode parecer complicado, mas basicamente estamos criando um polinômio que vale 1 em
e 0 nos outros pontos
, e então somando tudo ponderado pelos valores da função.
Passo 6
Após construir os polinômios interpoladores para
e
, o próximo passo é plotar esses polinômios juntamente com a função original
no intervalo
. Isso nos ajudará a visualizar como a interpolação está se comportando para diferentes números de pontos:
- Com
: O polinômio terá menos “flexibilidade” para seguir os altos e baixos da função, podendo não capturar todas as variações. - Com
: Teremos mais pontos, então o polinômio deve se ajustar melhor à função original, seguindo mais de perto suas variações.
Resposta
Calculamos os polinômios interpoladores para
no intervalo
com
e
pontos distribuídos regularmente. Utilizando a fórmula de Lagrange, obtemos dois polinômios
e
que passam exatamente pelos pontos selecionados. Ao plotar esses polinômios juntamente com a função original, observamos que
se ajusta de forma mais precisa à função
do que
, devido ao maior número de pontos utilizados na interpolação.